[MD-sorular] RE: bir analitik geometri sorusu-karekök bulma yöntemi

[fatihk cansu]

Verilen bir doğal sayının başka bir doğal sayının karesi olup olmadığını anlamanın en basit yolu en elementer yöntemlerden biri olan longhand metodunu (sanırım ilköğretim sekizinci sınıfta öğretiliyor) kullanmaktır. Bu kuralda basamak kısıtlaması zaten yoktur. Bir diğer kullanışlı yöntem ise modüler aritmetik yöntemlerle tamsayı kökleri araştırmak olabilir. Zaten bu metodla sadece tamkareleri değil tam küpleri yada dördüncü beşinci dereceden tamsayı kökleri araştırabiliriz. Genelde denklemler mod3 mod5, mod7,...  gibi asal değerlerin modlarında incelenerek çözüme daha doğrusu tamsayı çözümlere ulaşılmaya çalışılır. Aslında genelde bu yöntemle tamsayı yada doğal sayı köklerin olmadığı gösterilmeye çalışılır. Herhalde bu şekilde anlatmaktansa uygun bir örnek vererek mevzuya renk katmak daha yerinde olacaktır. 
 
 
örnek1. 
x3- 13y3=1453 eşitliğini sağlayan doğal sayı ikilisi varmıdır? (tubitak 2002)
Çözüm:  
Eşitliğin iki tarafına da  (mod7) altında bakalım (Benim aklıma nerden gelecek bu mod7 altında bakmak demeyin J) 
Bu durumda x3- 13y3 ≡ x3+y3 ≡4 (mod7) bulunur. Ancak herhangi bir tamsayının (mod7) altındaki eşiti 0,1 veya 6 olacaktır. Peki her iki küp toplamının  olası kalanları bilinirken 7 kalanına ulaşabilir miyiz.Tabiî ki hayır. Demek ki bu şekilde iki doğal sayı yoktur.
Gelelim ikinci örneğe;
örnek2: 
x,yε Z olmak üzere (x+1)2+(x+2)2+…..+(x+2001)2 = y2 denkleminin tamsayılar kümesindeki tüm çözümlerine bakalım.(Almanya 2000)
 
Çözüm: 
x=z–1001 olarak alalım. O vakit denklem 2001z2+(12+22+…+10002)= y2 olacaktır. Buradan da zaten denklem 2001z2 + 1000.1001.667 = y2 olacaktır. En son bulduğumuz denklemi (mod3) altında incelersek y2 ≡ 2 (mod3) olacaktır. Ancak bu denklemi sağlayan bir tamsayı değerinin olmadığı açıktır. Demek ki soruda sorulan denklemi sağlayan tam sayı ikilileri yoktur.
 
Umarım çözümler fikir edinmenize yardımcı olur. Daha ayrıntılı bir okuma için, Diophant denklemlerinin modüler teknikle  çözülmesi üzerine herhangi bir çalışmayı seçebilirsiniz yada www.mathlinks.ro adrsinden bolca soruya ulaşablirsiniz. Kolay gelsin.. 
 
 
 
 
Fatih Kürsad CANSU
"Kendi Halinde Bir Yaşam Formu"> From: candasdede at hotmail.com> To: md-sorular at matematikdunyasi.org> Date: Mon, 29 Sep 2008 12:23:03 +0300> Subject: [MD-sorular] bir analitik geometri sorusu-karekök bulma yöntemi> > > bir diğer sorum da verilen bir doğal sayının bir başka doğal sayının karesi olup olmadığını anlamaya yarayan bir kural var mıdır?> (4 veya daha çok basamaklı sayılar için )> > ekdeki dosyanın açılıp açılmayacağını bilmiyorum bu bir deneme olacak> > iyi bayramlar..> _________________________________________________________________> Windows Live Messenger'ın için Ücretsiz 30 İfadeyi yükle> http://www.livemessenger-emoticons.com/funfamily/tr-tr/
_________________________________________________________________
Windows Live Messenger'ın için Ücretsiz 30 İfadeyi yükle
http://www.livemessenger-emoticons.com/funfamily/tr-tr/