[MD-sorular] Garip gurup bir grup.

[E. Mehmet Kıral]

Bir cismin has altcismine eşyapısal olduğuna güzel bir örnek daha buldum.
Üstelik bu sefer aradaki eşyapı dönüşümünü de direk bulabiliyoruz cebirsel
kapalı cisim örneğinin aksine.

k karakteristiği p olan ve mükemmel (perfect) bir cisim olsun, yani p.
kuvvet almak k üzerinde örten bir homomorfi.

k(X) cismi ile k(X^p) cismi eşyapısaldır. Aradaki eşyapı eşleşmesi de p.
kuvvet alma (frobenius eşleşmesi) ile verilir. Ve ilk cisim ikinci cismi
içerir.
Bu iki cismin arasındaki iki cisme de izomorf olmayan herhangi bir cisim de
bu mesaj serisinin en başında sorulan soruyu olumsuz olarak cevaplar.
2007/11/2 ali nesin <nesin at bilgi.edu.tr>

>
> Simdi farkettim, sonucun dogru ama bu argumanin hatali:
>
> > Ama C'de aynı zamanda cebirsel kapalı
> > olduğu için kendisinden büyük
> > başka bir cisim yoktur(genel olarak cebirsel kapalı cisimlerin
> > kendisinden daha büyük bir genişlemesi yoktur).Demek ki L cismi C'ye
> > isomorf.Yani C(X) bu şekilde
> > C'nin içine girer.
>
> Tabii ki C'den daha buyuk bir cisim vardir; C'nin yalniz cebirsel
> extension'i yoktur.
>
> Kullanman gereken teorem su:
>
> Teorem: Ayni sayilamaz kardinalitedeki ve karakteristeki iki cebirsel
> kapali
> cisim izomorfiktirler.
>
> Dolayisiyla C ile C(X)'in cebirsel kapanisi izomorfiktirler, iksinin de
> kardinalitesi aleph_1 cunku.
>
> Sayilabilir sonsuz cebirsel kapali cisimler de (prime field uzerine)
> transcendence degree'lerine gore siniflandirilirlar:
>
> Theorem: Two countable algebraically closed fields of the same
> characteristic are isomorphic iff they have the same transcendence degree
> over the prime field.
>
> Ali
>
> -----Original Message-----
> From: haydar göral [mailto:hgoral at gmail.com]
> Sent: Friday, November 02, 2007 8:44 PM
> To: ali nesin
> Cc: E. Mehmet Kıral; md-sorular
> Subject: Re: [MD-sorular] Garip gurup bir grup.
>
>  "Sayilamaz sonsuzlukta olmasi kosuluyla..." demişsiniz,anlamadım ben
> nerde gerekli olduğunu.
>    Haydar
>
> On 11/2/07, ali nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:
> > " Yukarıdaki argümanda C yerine her hangi bir cebirsel kapalı bir
> > cisim alınabilir."
> >
> > Sayilamaz sonsuzlukta olmasi kosuluyla...
> > Ali
> >
> > -----Original Message-----
> > From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> > [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of haydar
> göral
> > Sent: Friday, November 02, 2007 8:07 PM
> > To: E. Mehmet Kıral
> > Cc: md-sorular
> > Subject: Re: [MD-sorular] Garip gurup bir grup.
> >
> >   Cisimler konusunda hata yapmışım,bana isomorf olmaları gibi geldi
> > çünkü bu taktirde her iki cisimde de içlerinde kendilerine isomorf öz
> > alt bir cisim bulabiliyoruz.
> > Ama düşündüğüm doğru değil,şöyle bir karşı örnek var:
> >
> > C:kompleks sayılar olsun ve C(X) de rasyonel fonksiyonlar cismi
> > olsun,yani C üzerine polinom halkasından aldığımız iki polinom p ve
> > q(0 dan farklı) için p/q C(X)
> > cismindedir.Şimdi bu iki cismi düşünelim.Bu iki cisim birbirine
> > isomorf değildirler çünkü C cebirsel kapalıdır (yani sabit olmayan
> > kompleks katsayılı her polinomun yine C de  kökü vardır:cebirin temel
> > teoremidir buda) ama C(X) te X'in karekökü yoktur.C'nin C(X)'in içinde
> > olduğu belli.Şimdi de C(X)'i  C'nin içine sokalım.
> > C(X)'in cebirsel kapanışını düşünelim(her cisim cebirsel kapalı bir
> > cisimin içine girer bir teoreme göre).B yeni cisme L diyelim.Demek ki
> > L cismi C'yi içermek zorunda.Ama C'de aynı zamanda cebirsel kapalı
> > olduğu için kendisinden büyük
> > başka bir cisim yoktur(genel olarak cebirsel kapalı cisimlerin
> > kendisinden daha büyük bir genişlemesi yoktur).Demek ki L cismi C'ye
> > isomorf.Yani C(X) bu şekilde
> > C'nin içine girer.
> >
> > Not:Yukarıdaki argümanda C yerine her hangi bir cebirsel kapalı bir
> > cisim alınabilir.
> >
> > Böylece sorunun cevabını gruplar,vektör uzayları ve cisimler için
> > biliyoruz.Son olarakta cisim olmayan halkalar için karşı örnek olup
> > olmadığı.
> >
> > On 10/31/07, haydar göral <hgoral at gmail.com> wrote:
> > >  İkinci paragrafta söylemek istediğim diğer bir karşı örnek
> > > oluşturmasıydı.Yaptığımız
> > > gibi 2 elemanlı özgür grup 3 elemanlı olanın içine giriyor.Şimdi
> > > bulduğumuzdan farklı olarak 3 elemanlı özgür grubu yine 2 elemanlı
> > > olanın içine sokalım.Bilinen birşey 2
> > > elemalı özgür grubun komütatör alt grubunun üreteç sayısının sonsuz
> > > olduğudur.Demek ki 3 elemanlı olan özgür çocuk 2 elemalı olanın
> > > komütatörüne gömülür,ama bu komütatör alt grupta zaten 2 elemanlı
> > > özgür çocuğun içindedir.
> > >
> > > Cisimlere gelince verdiğin örnekler birbirinin içine gömülemezler.Biz
> > > birbirinin içine gömüldüğü durumdan bahsediyoruz.Bu durumda  diyelimki
> > > K ve L iki cisim olsun birbirinin içine gömülen ve ikisinden de küçük
> > > bir cisim üzerine vektör uzayı olsunlar.Demek ki boyutları aynı bu
> > > küçücük cisim üzerine.Bu yüzden K<L durumu olamaz(K derken K nın L de
> > > imgesi).
> > >
> > > On 10/31/07, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
> > > > Aslında yaptığın homomorfizma kelimelerin uzunluğunu kısaltabiliyor,
> > > > misal x^-1 y z^-1 kelimesini alıyor ve x^-2 xy y^-2 = x^-1 y^-1
> yapıyor.
> > > >
> > > > Öte yandan yine de bir monomorfizma, zira çekirdeği tırışkadan. (Yani
> > > > kerneli 1).
> > > > Açıklaması şöyle: y'nin kuvveti 0, 1 ya da -1'den farklı olursa
> > > > kendiliğinden ortada bir y ya da y^-1 kıstırıyoruz yok edemediğimiz.
> > > > Bu üç durumda da hiçbir kelimenin görüntüsünün 1 olmadığını
> görebiliriz.
> > > >
> > > > E tamam şimdi iki grubu birbirinin içine sokmuş olduk ve işimiz
> bitti,
> > > > izomorfik olmadılarını da biliyoruz üstelik, birinin 2 üreteci varken
> > > > diğerinin 3 üreteci var.
> > > > Bir karşıörnek buldun yani.
> > > >
> > > > Bir sonraki paragrafı neden yazdın peki, komütatör altgrupla ilgili
> > > > olanı. Biraz daha açar mısın orada yazdıklarını, hem ne dediğini
> > > > anlamadım hem de neden daha bir şey demen gerekiyor onu da anlamadım.
> > > >
> > > > Cisim konusuna gelince, doğru değil yazdığın. İzomorfik olan vektör
> > > > uzayı yapısı, cismin çarpımsal yapısını korumayabilir vektör uzayı
> > > > izomorfizması. Hatta asal cismi üzerine aynı boyutlu ama eşyapısal
> > > > olmayan cisimler de mevcuttur. Q(kök(2)) ile Q(kök(3)) örneğin. İkisi
> > > > de Q üzerine 2 boyutlu vektör uzayları, dolayısıyla vektör uzayı
> > > > olarak izomorfikler. Ancak birinde 3'ün karekökü var diğerinde yok.
> > > >
> > > >
> > > > 2007/10/29, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
> > > > >  Evet haklısın dikkatsizlik etmişim.Peki şu gruplar oluyormu?:
> > > > >
> > > > >  G= 2 elemanlı özgür grup olsun =x ve y ile gerilsin
> > > > >  H= 3 elemanlı özgür grup olsun = x ,y ve z ile gerilsin
> > > > >
> > > > >  G den H ye x ->x e ve y->y ye götüren fonksiyon 1-1 morfizmadır.
> > > > >  H den G ye x->x^2 , y->xy ve z->y^2  yollayan fonksiyon
> morfizmadır
> > > > > ve 1-1 dir,çünkü:
> > > > >   H deki bir eleman x^i1y^i1z^i1...x^iky^ikz^ik şeklindedir ve bu
> > > > > elemanun G deki görüntüsü 1 ise bu elemanda 1 dir.Çünkü G de bu
> > > > > elemanların karşılığını koyunca
> > > > > x ve y nin güçlerini arttırmaktan başka birşey yapmayız.
> > > > >
> > > > >  Şimdi yine yukardaki 2 özgür grubu düşünelim.Aynı şekilde G
> grubunu
> H
> > > > > nin içinde görebiliriz.Bide G grubunun komütator alt grubu sonsuz
> > > > > elemanlı özgür gruptur demekki H yi de G nin içine sokabiliriz.Ama
> bu
> > > > > 2 grup isomorf değildirler.
> > > > >
> > > > > Dediğin gibi vektör uzayları için doğru değil bu durum.Cisimlere
> > > > > gelince: 2 cismi birbirinin içine sokabiliyosak karekteristikleri
> aynı
> > > > > demektir.Demek ki karakteristlikleri ya p (asal) ya da 0.İlk
> durumda
> > > > > Z_p üzerine 2. durumda da Q(rasyonel sayılar) üzerine vektör uzayı
> > > > > olurlar.Demek ki bu durum da vektör uzayı durumuna indirgenebilir.
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > On 10/29/07, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
> > > > > > İyi tamam hoş da, sabit -1'ler (sabit -1 dizileri) birbirlerine
> > > > > > gitmiyorlarsa birinin karekökünün olması diğerinin olmaması ne
> gibi
> > > > > > bir çelişki yaratacak grupların izomorfik olması konusunda.
> > > > > >
> > > > > > Kurulacak bir izomorfizma altında bal gibi de G'deki (-1, -1, -1,
> > ...
> > > > > > ) elemanı karekökü olmayan bir elemana gidiyor olabilir. H'deki
> > > > > > (-1,-1, ... ) elemanının da önimgesini al mesela (1, -1, -1, ...
> )
> > > > > > yaptım.
> > > > > >
> > > > > > A:Vektör uzayları için bunun gibi hiçbir karşıörnek bulunamaz,
> > > > > > mecburen iki vektör uzayı birbirlerine izomorfik oluyorlar. Bir
> > vektör
> > > > > > uzayını belirleyen (eşyapısal olarak) tek şey boyutudur (cisim
> belli
> > > > > > olduktan sonra). Dolayısıyla eğer birbirlerine monomorfizmalar
> varsa
> > > > > > bu durumda vektör uzaylarının boyutları eşit demektir (sonsuz da
> > > > > > olabilir). Dolayısıyla vektör uzayları birbirlerine izomorf
> olurlar.
> > > > > >
> > > > > > Cisimler ve halkalar için ne olur bilemiyorum. Ancak az daha
> > verdiğin
> > > > > > örnek halkalar için bir karşıörnek oluşturacaktı. Eğer Z/7Z'yi
> Z/37Z
> > > > > > içerisine halka olarak gömebilseydik. Çünkü halka olarak bakınca
> > sabit
> > > > > > -1 dizisinin yine sabit -1 dizisine gitmesi gerekecekti
> (çarpmanın
> > > > > > birim elemanının toplamsal tersi yine çarpmanın birim elemanının
> > > > > > toplamsal tersine gider). Ancak maalesef bu sefer
> monomorfizmaları
> > > > > > aynı şekilde kuramıyoruz.
> > > > > >
> > > > > > 2007/10/29, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
> > > > > > >  1- Evet G = (Z_7)* x (Z_37)* ^N  demek istedim
> > > > > > >
> > > > > > > 2-  -1  elemanı derken  Z_7 de 6 oluo bu Z_37 de ise  36 oluyor
> ve
> > > > > > > çarpım grubunda bu elemanlardan oluşan sonsuz sabit -1
> dizisi.Bu
> 2
> > > > > > > grubunda tersleri devirmelidir ve sırasıyla Z_6 ya ve Z_36 ya
> > > > > > > isomorftur.Bu gruplardaki  -1 ler  birbirlerine gidiyor
> > > > > > > demedim.Aralarında morfizma var 1-1 kaydırmalar çünkü  Z_6
> grubu
> > > Z_36
> > > > > > > nın içine giriyor o yüzden.Ben bu grupları çarpma olarak
> > düşüneceğim
> > > > > > > ama.
> > > > > > >
> > > > > > > 3-Genel olaral p asalsa -1 karedir ancak ve ancak p modulo 4=1
> > ise.
> > > > > > > Bu yüzden Z_37 de -1 kare ama Z_7 de değil.
> > > > > > >
> > > > > > > Q:Aynı soru halkalar ,cisimler ve vektör uzayları için de
> > > doğrumudur?
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > On 10/29/07, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
> > > > > > > > Bazı noktaları anlamadım.
> > > > > > > >
> > > > > > > > 1. Bu basit bir şey herhalde ama G = (Z_7)* x (Z_37)* ^N mi
> > demek
> > > > > > istedin?
> > > > > > > >
> > > > > > > > 2. -1 elemanı derken ne demek istiyorsun? Zadece Z_p*
> grubunda
> > > olsan
> > > > > > > > anlarım. Derecesi 2 olan yegane eleman demek istiyorsun da, G
> ya
> > > da
> > > > H
> > > > > > > > gruplarında -1 ne demek, ve birinin -1'inin diğerininkine
> gitme
> > > > > > > > zorunluluğu neden var?
> > > > > > > >
> > > > > > > > 2007/10/28, haydar göral <hgoral at gmail.com>:
> > > > > > > > >
> > > > > > > > >  Evet S_3 örneğin doğru,ama fazla karşı örnek göz
> > > > çıkarmaz.Birtanede
> > > > > > > > benden:
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > G=(Z_7)*x(Z_7)*N =(Z_6)x(Z_36)^N
> > > > > > > > > H=(Z_37)*^N=(Z_36)^N
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Gene kaydırmalar bu 2 grup arasındaki 1-1 morfizmalardır
> çünkü
> > > > > > > > > dediğin gibi (Z_7)* grubunu (Z_37)* nin içinde
> > görebiliriz.Diğer
> > > > > > biryandan
> > > > > > > > G
> > > > > > > > > de -1 elemanın karekökü yok ama H de var.
> > > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > --
> > > > > > > > I suppose it is tempting, if the only tool you have is a
> hammer,
> > > to
> > > > > > > > treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow,
> > > "Psychology
> > > > of
> > > > > > > > Science")
> > > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > --
> > > > > > I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer,
> to
> > > > > > treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow,
> "Psychology
> > of
> > > > > > Science")
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > --
> > > > I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> > > > treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology
> of
> > > > Science")
> > > >
> > >
> >
> >
>
>


-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20081018/035d2361/attachment.htm