[MD-sorular] Reel sayıların alt kümesi

[berat okutan]

(Seçim beliti kabul edildiğinde) "Lebesgue ölçülebilir" olmayan bir alt
küme bence oldukça ilginç. Bildiğim bir tanesini yazayım:

[0,1] kapalı aralığında şöyle bir bağıntı tanımlayalım:

    a,b elemandır [0,1] olsun. a-b rasyonel ise a, b ile bağıntılıdır.

Bu bağıntı bir denklik bağıntısıdır. Her denklik sınıfından bir eleman
seçerek bir A kümesi oluşturalım (Seçim beliti!). İşte bu A kümesi
(Lebesgue) ölçülemez.



İspat:



Ölçülebilir olduğunu varsayalım ve ölçüsü x olsun.



y bir reel sayı olduğunda, A+y:={a+y : a elemandır A} diyelim.



r ve q rasyonelse, ve r q'dan farklıysa A+r ve A+q kümeleri ayrık
olur(!). Ayrıca A+r kümesi a kümesinin sadece bir ötelemesi olduğundan
ölçümü A'nınkine eşittir. 



Tüm rasyonel ve [-1,1] arasındaki r'ler için, A+r kümelerinin birleşimi
[0,1]'i kapsar.(A'yı nasıl kurduğumuzu hatırlarsak, bu birleşimin tüm
denklik sınıflarını kapsayacağı anlaşılabilir.). Ayrıca, bu birleşim
[-1,2] kapalı aralığının içindedir.(Tüm A+r kümeleri en küçük 0-1, en
büyük 1+1', içerebilir.). Dolayısıyla, bu birleşim kümesinin ölçüsü 1'e
büyükeşit 3'e küçükeşit olmalıdır.



Bu birleşim kümesi sayılabilir çoğunlukta ve ayrık kümelerden
oluştuğundan, ölçüsü birleşim kümelerinin ölçülerinin toplamına eşit
olmalıdır. x=0 ise bu toplam 0 olur, bu bir çelişkidir (1'e büyükeşit
olmalıydı). x=0 değilse x pozitif olur, bu ise toplamı sonsuz yapar ve
yine bir çelişkiye varmış oluruz (3'e küçükeşit olmalıydı).



Berat

Date: Tue, 14 Apr 2009 17:24:06 +0300
From: aliilik at gmail.com
To: md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: [MD-sorular] Reel sayıların alt kümesi

Reel sayıların çok ilginç alt kümelerine örnekler nelerdir?
_________________________________________________________________
Show them the way! Add maps and directions to your party invites. 
http://www.microsoft.com/windows/windowslive/products/events.aspx
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090414/841c0bf3/attachment.htm