[MD-sorular] Sonlu indeksli idealler

E. Mehmet Kıral luzumi at gmail.com
19 Ağu 2009 Çar 19:31:39 EEST


Karşıörnek için çok teşekkürler.

Gerekmediğini düşündüğüm için söylememiştim ama sorum Dedekind
Bölgeleri içindi. Karşıörneğiniz sayesinde (bildiğim tek Noeteryen
olmayan halka örneği olduğu için) halkanın Noeteryen olmasının iddiayı
kanıtlamaya yeteceğini sezdim. Hakikaten de yetiyor. I'nın asal
olmasına da gerek yok.

Tümevarımla kanıtlayacağız. R bir Nöteryen halka, I onun R/I'yı sonlu
kılacak bir ideali.

R/I = {a_1 + I , ... , a_m + I} olsun.
Nöteryen bir halkada olduğumuzdan I ideali sonlu eleman tarafından
gerilir, diyelim I = <b_1, ..., b_n>
Herhangi bir r \in R alalım. Bir adet a_i için r - a_i \in I.
Dolayısıyla çeşitli r_1, ...., r_n \in R için r - a_i = r_1 * b_1 +
r_2 * b_2 + ... + r_n * b_n. (Burada R halkasının değişmeli olduğunu
varsaydım; belki -hesapları karıştırmayı göze alarak- bunu
yapmayabilirdim, ancak ilgilendiğim durum değişmeli.)
Ayrıca her bir r_j de bir adet i_j \in I için a_k_j + i_j biçiminde yazılabilir.
Velhasıl,
r = a_i + (a_k_1 + i_1) * b_1 + ... + (a_k_n + i_n) * b_n  \in a_i +
a_k_1 * b_1 + ... + a_k_n * b_n + I ^2.

Modülo I^2 sonlu adet temsilcimiz var (sonlu adet çarpım
kombinasyonu). Yani R/I^2 sonlu. Hatta |R/I^2| üzerine bir üstsınır
bile getirebiliriz (I'nın üreteç sayısı ve |R/I| cinsinden bir
üstsınır).

Benzer bir hesapla R/I^n'nin sonlu olduğunu varsayarak R/I^(n+1)'in de
sonlu olduğunu kanıtlayabiliriz.

Ya da bu son cümleyi beğenmediyseniz, şöyle de diyebiliriz. I yerine
I^2 alarak, R/I^4'ün de sonlu olduğunu ve hatta her n tamsayısı için
R/(I^(2^n))'nin sonlu olduğunu biliyoruz. E o zaman R/I^n de haydi
haydi sonludur. (I^n >= I^2^n).

NOT: Aklıma Noetherian yerine "Noethercil" demek geldi, kim ne der bu
öneriye? Ya da belki "Nötercil".


2009/8/18, Ali Nesin <anesin at bilgi.edu.tr>:
>
> I asal oldugunda da yanlis.
> Nerdeyse ayni ornek karsiornek oluyor.
> Ornek: F sonlu bir cisim olsun.
> R = F[X1, X2, ...] olsun.
> I = <X1, X2, ...> olsun.
> I asal bir idealdir.
> O zaman R/I = F sonlu olur, ama R/I^2 (biraz onceki nedenden) sonsuz olur.
> Ali
>
>
> ________________________________
> From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Ali Nesin
> Sent: Tuesday, August 18, 2009 3:18 PM
> To: E. Mehmet Kıral; Matematik Dunyasi
> Subject: Re: [MD-sorular] Sonlu indeksli idealler
>
> Boyle bir sonuc genelde yanlis.
>
> Ornek: F sonlu bir cisim olsun.
> R = F[X1, X2, ...]/<XiXj : her i ve j> olsun.
> I = <X1, X2, ...> olsun.
> O zaman R/I = F sonlu olur, ama I^2 = 0 oldugundan R/I^2 = R sonsuz olur.
>
> I asal ideal oldugunda dogru olma sansi daha fazla ama ondan da emin
> degilim. Dusunmem lazim.
>
> A.
>
>
> ________________________________
> From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of E. Mehmet
> Kıral
> Sent: Tuesday, August 18, 2009 2:34 PM
> To: Matematik Dunyasi
> Subject: [MD-sorular] Sonlu indeksli idealler
>
> Merhaba,
>
> R bir halka, I da onun bir ideali olsun.
>
> R/I sonlu.
>
> R/(I^n)'nin de sonlu olduğunu söyleyebilir miyiz?
>
> Ya da en azından bazı koşullar altında bu önerme doğru mudur, örneğin I bir
> asal ideal olduğunda?
>
> --
> Eren Mehmet Kıral
>


-- 
Eren Mehmet Kıral


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi