[MD-sorular] Fwd: Paradoks

Odul Tetik odultetik at gmail.com
10 Ara 2009 Per 17:15:51 EET


Eşitlik Euler'in, ayrıca MDnin 2009 I-II sayısının 79. sayfasında bu durum
konu ediliyor. Oradaki açıklama (ben de böyle düşünüyorum):
*"Euler'in sonsuz toplamlar konusunda bugün hocalara saç baş yoldurtacak,
tebeşir fırlattıracak bir sonucunu takdim edelim:*
* *
*1-1+1-1+1-1+...=1/2*
*Oysa Euler serilerde yakınsaklığın önemli olduğunu biliyordu. 1748'de
yazığı Introductio in Ana-lysin Infinitorum kitabında okuru bu konuda
uyarmıştır.Euler, okurunu bu konuda uyarırken nasıl oluyor da aynı kitapta
kendisi aynı hataya düiebbiliyor? Tek bir açıklaması olabilir: Seriler
yakınsaksa bir sorun yok, serinin ne anlama gelmesi gerektiği belli. Seri
yakınsak değilse ne anlama gelmeli? Örneğin*
* *
*1-1+1-1+1...*
*sonsuz toplamına ne anlam verilmeli? Kısmi toplamlar bir 1 bir 0 ediyor.
Peki sonsuzda ne olmalı bu toplam?Diyelim biri ışığı her saniye açıp
kapatıyor, ışık sonsuzda açık mıdır kapalı mı? *
*....*
*Eğer ışık bir zaman sonra belli bir konumda olacaksa ve illa bizden bir
yanıt bekleniyorsa, o zaman bu yanıt elbette ışığın yarı açık yarı kapalı
olacağıdır!*
*...*
*Tabi şöyle de düşünülebilir: Tek sayıda terim toplandığında 1, çift sayıda
terim toplandığında 0 elde edilir. Dolayısıyla 0 ile 1in ortalamasını almak
en makul çözüm olmalı...*
*..."*
eşitlikle ilgili bölüm burada bitiyor, bundan sonra Euler'in kanıtladığı
benzer bir örüntüye geçiliyor:
...+1/n^2+1/n+1+n+n^2+n^3+...=0
...
Saygılar
Ödül Tetik

10 Aralık 2009 09:27 tarihinde Tarik Ozkanli <tarik.ozkanli at sampas.com.tr>yazdı:

>  Merhaba,
>
> Sanırım Euler'in icadı "alternating series" bu.
>
> Iraksak olmasına rağmen toplamının 1 olduğu kabul ediliyor sanırım.
>
>
>
> 1 - x + x^2 - x^3 + ...
>
>
>
> Bunlar matematiksel dilin ve/veya mantığın sınırlarındaki düzensizlikler
> gibi yorumlanabilir.
>
> Farklı felsefi yaklaşımlara sahip matematiksel düşünce okulları sanılanın
> aksine çok radikal derecede farklı yapıları geçerli kabul ediyorlar.
>
>
>
> Kimilerine gore mesela bu sonsuz seri kavramı bile saçma ve "inşa
> edilebilir" olmadığından üzerinde uğraşmaya değmez bulunuyor.
>
>
>
> Ben o kanıda değilim .
>
>
>
>
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *tibet efendi
> *Sent:* Thursday, December 10, 2009 1:07 AM
> *To:* dede_47 at mynet.com; Matematik Dunyasi
> *Subject:* Re: [MD-sorular] Fwd: Paradoks
>
>
>
> *1-1+1-1+1-1+-........=1/2*
> böyle bir sey yok. Yakinsamiyor ki.
> Hangi analiz kitabinda var bu?
> bunu kullanarak bir cok sacmaligi kanitlayabilirsiniz. Birbine zit seyler
> de kanitlayabilirsiniz cünkü tutarsiz bir yapi olmus olur elinizde.
>
> Bertrand Russel bir konusma sirasinda tutarsiz bir sistemden hareketle her
> seyin ama herseyin kanitlanabilecegini söyler. Biri de "o zaman 1=0'dan
> hareketle sizin papa oldugunuzu kanitlayin" der. Russel da söyle der:
> "Papa'yla ben bir odaya girdik. Odada kac kisi var? 1=0 olduguna göre 1+1=1
> olmali. Odada 1+1=1 kisi var. Demek ki ben Papayim."
> Bu hikayeyi nerede okudugumu hatirlamiyorum. Gercek mi onu da bilmiyorum.
>
> Birinci derece elementer mantikta bunu kanitlayabiliyorsunuz. Yani tutarsiz
> bir sistemden hareketle dogru ya da yanlis her iddianin kanitlanabilecegini.
>
> tibet
>
> --- On *Wed, 12/9/09, Odul Tetik <odultetik at gmail.com>* wrote:
>
>
> From: Odul Tetik <odultetik at gmail.com>
> Subject: [MD-sorular] Fwd: Paradoks
> To:
> Cc: "MD Tartışma" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
> Date: Wednesday, December 9, 2009, 10:21 AM
>
>
>
> ---------- Yönlendirilmiş ileti ----------
> Kimden: *Odul Tetik* <odultetik at gmail.com<http://mc/compose?to=odultetik@gmail.com>
> >
> Tarih: 09 Aralık 2009 19:17
> Konu: Re: [MD-sorular] Paradoks
> Kime: dede <dede_47 at mynet.com <http://mc/compose?to=dede_47@mynet.com>>
>
>  *x=1 => y=s*  (esitligin sağ tarafına göre) burada bir sorun yok
>
> ancak zaten* (1-x^m)/(1-x^n)=y(dolayısıyla =s) *derseniz *x=1* nasıl
> olabilir ki? yani 0/0 belirsizliğini
>
> kaldırmak derken neyi kastediyorsunuz?
>
> Saygılar
>
> Ödül Tetik
>
>
>
> 09 Aralık 2009 16:10 tarihinde dede <dede_47 at mynet.com<http://mc/compose?to=dede_47@mynet.com>>
> yazdı:
>
> Sayın Liste Üyeleri;
>
> Birçok analiz kitabında kolayca kanıtlanabilen;
>
> s*=1-1+1-1+1-1+-........=1/2*
>
> (sonsuz toplam) verilir. m>0, n>0 olmak kaydıyla;
>
> *y=(1-x^m)/(1-x^n)=1-x^m+x^n-x^(m+n)+x^2n-+....* ;  de
>
> x=1  için eşitliğin sol tarafında ki 0/0 belirsizliği kaldırıldıktan
>
> sonra; x=1 konulursa; *s = m/n =1-1+1-1+1-1+-.....= 1/2*  bulunur.
>
> Şimdi, *m/n=1/2* eşitliğinde m ve n için rasgele tamsayı değerleri
>
> verilirse elde edilecek bütün (m/n)  kesirlerinin
>
> birbirine eşit olduğu görülür.Nerede hata yapılmaktadır?
>
> (Bu bir paradoks(çatışkı) mıdır?)
>
> Saygılarımla
>
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
>
>
> _______________________________________________
> Ücretsiz dinlemek için yüzbinlerce şarkı Kavun'da! Tıkla, dinle.
> <http://servad.mynet.com/admynet/adredir.asp?ciid=40181&url=http://kavun.mynet.com>
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org<http://mc/compose?to=sorular@matematikdunyasi.org>
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>
>
>
>
> -----Inline Attachment Follows-----
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org<http://mc/compose?to=sorular@matematikdunyasi.org>
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>
>
>
> __________ Information from ESET NOD32 Antivirus, version of virus
> signature database 4674 (20091209) __________
>
>
>
> The message was checked by ESET NOD32 Antivirus.
>
>
>
> http://www.eset.com
>
>  Bu elektronik posta ve onunla iletilen bütün dosyalar gizlidir ve sadece
> göndericisi tarafindan almasi amaçlanan yetkili gerçek ya da tüzel kisinin
> kullanimi içindir. Eger söz konusu yetkili alici degilseniz bu elektronik
> postanin içerigini açiklamaniz, kopyalamaniz, yönlendirmeniz ve kullanmaniz
> kesinlikle yasaktir ve bu elektronik postayi derhal silmeniz gerekmektedir.
> SAMPAŞ bu mesajin içerdigi bilgilerin dogrulugu veya eksiksiz oldugu
> konusunda herhangi bir garanti vermemektedir. Bu nedenle bu bilgilerin ne
> sekilde olursa olsun içeriginden, iletilmesinden, alinmasindan ve
> saklanmasindan sorumlu degildir. Bu mesajdaki görüsler yalnizca gönderen
> kisiye ait olup, her zaman SAMPAŞın görüslerini yansitmayabilir. Bu e-posta
> bilinen bütün bilgisayar virüslerine karsi taranmistir.
>
>  This e-mail and any files transmitted with it are confidential and
> intended solely for the use of the individual or entity to whom they are
> addressed. If you are not the intended recipient you are hereby notified
> that any dissemination, forwarding, copying or use of any of the information
> is strictly prohibited, and the e-mail should immediately be deleted. SAMPAS
> makes no warranty as to the accuracy or completeness of any information
> contained in this message and hereby excludes any liability of any kind for
> the information contained therein or for the information transmission,
> reception, storage or use of such in any way whatsoever.The opinions
> expressed in this message may belong to sender alone and may not necessarily
> reflect the opinions of SAMPAS. This e-mail has been scanned for all known
> computer viruses.
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20091210/139ba226/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi