[MD-sorular] toplam kareler

[E. Mehmet Kıral]

Dediginiz tam olarak dogru degil, ancak dogru oldugu zaman cok derin bir
gercegin ipucu (oldugunu sezinliyorum).

p = 5 alirsaniz, istediginiz toplam,

1 - 2 - 3 + 4 = 0 olur.

Aslinda her p denk 1 (mod. 4) icin bahsedilen toplam 0'dir. Kanitlayalim.

Toplami m, 1'den (p -1)/2'ye ve geri kalani olmak uzere ikiye ayiralim.
Ikinci yariyi m degiskenini p - m ile degistirerek tekrar yazalim, boylece

\TOPLAM_{m = 1}^{(p-1)/2}    (p - m) ((p - m)/p) = \TOPLAM_{m=1}^{(p-1)/2} p
(m/p) - \TOPLAM_{m=1}^{(p-1)/2} m (m/p).

Bu esitligi yazarken p'nin modulo 4 , 1'e denk olmasini kullandik. Cunku ((p
- m) / p)  = (-m/p) = (-1/p) (m/p) = (-1)^{(p-1)/2} (m/p) = (m/p).
Yukaridaki esitligin sag tarafi, yazmadigimiz m = 1'den (p-1)/2'ye kadar
olan kisimla goturuyor. Ve ayrica ilk toplam da sifir.

Toplamdan p'yi disariya cikarabiliriz. Boylece iddiamiz, 1'den (p-1)/2'ye
kadar esit sayida kare kalan ve kare olmayan kalan olduguna donusuyor. Bu
1'den p-1'e kadar olan tum sayilari dusunursek dogru. Ancak eger 0 < a < p
bir kare kalansa ayni zamanda p - a da oyle. Bu da kare kalanlarin (p - 1)
/2 etrafinda simetrik dagildigini gosteriyor. Demek ki

\TOPLAM_{m = 1}^{(p-1)/2}  (m/p) = 0.

Istedigimizi kanitlamis olduk. Bahsettiginiz toplam 0.

Ancak p moduleo 4, 3'e denk olursa isler degisiyor. Dediginiz gibi hakikaten
A < 0 oluyor. En azindan wikipedia bizi dogruluyor:
http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue#Distribution_of_quadratic_residues

Buna dair notlarim okulda kaldi, ve hatirladigim kadariyla bu durum
yukaridaki kadar kolay degildi. Bir daha okula ugradigim zaman notlarima
bakar ve buraya donerim. Soyle bir sey de dogruydu:

P, 0'dan p-1/2'ye kadar olan kare kalanlarin sayisi olsun.
N de, 0'dan (p-1)/2'ye kadar, kare olmayan kalanlarin sayisi olsun.

Bu durumda P - N pozitif bir sayidir hatta h(Q(kok(-p)))'ye yani Q(kok(-p))
cisminin sinif sayisina esittir.

Karelerin [0,p] araliginda esit dagilmadigini goruyoruz boylece.

2009/12/26 RAhmi uçbil <honolululurahmi at gmail.com>

> Merhabalar,
>
> p bir asal sayı olsun, ve (k/p) Legendre sembolu olsun yani k mod p de kare
> ise 1, değilse -1.
>
> A= toplam m=1 den p-1 [m* (m/p)] ise A<0 olduğu nasıl gösterelir ?
>
> ucbil
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>



-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20091229/ee4fddfa/attachment.htm