[MD-sorular] Gödel'in eksiklik teoremi

tibet efendi tibetefendi at yahoo.com
30 Ara 2009 Çar 19:23:03 EET


Gödel'in eksiklik teoremi'yle ilgili kafama takilan bir sey var.

Gödel'in eksiklik teoremi su:
Dogal sayilarin toplamasini ve carpmasini iceren "recursively enumerable" bir aksiyom sistemi, celiski üretmiyorsa eksik olmak zorundadir.
Yani o sistemde dogrulugu ve yanlisligi kanitlanamayan önermeler olmak zorundadir.

Bu teorem neden bu kadar büyük sansasyon yaratmis anlamiyorum.

1) Gödel bunu kanitlamak icin "bu önerme kanitlanamaz" gibi gicik ve kendine gönderme yapan bir önerme yazilabilecegini gösteriyor.
Iyi de bu kendine gönderme yapan gicik önermeleri bir sekilde yasaklarsak, belki de sorun cözülecek.
Yani bu gicik önermeler, öyle kimsenin de "bunun dogrulugunu ya da yanlisligini kanitlayamazsam dünya bana zindan olur" diye düsündügü önermeler degildir herhalde.

Neden bütün önermelerin dogrulugunu ya da yanlisligini kanitlamak bu kadar mühim? Bir örnekle acayim:

2) Grup teorisine bakalim. Grup teorisinde su cümlenin ne yanlisligini ne de dogrulugunu kanitlayabiliriz: "her x ve y icin xy=yx esitligi dogrudur".
Cünkü abelyen gruplar vardir, abelyen olmayan gruplar vardir.

Yani grup aksiyomlari "eksik"tir.
Ama bu bizi rahatsiz etmiyor.
Neden rahatsiz etsin ki?

Ayni sekilde diyebilmeliyiz ki:
"gödel'in gicik cümlesinin dogru oldugu, dogal sayilar aritmetigini iceren modeller vardir, 
ama ayni sekilde o cümlenin yanlis oldugu dogal sayilar aritmetigini iceren modeller vardir."

Dolayisiyla aksiyom sistemi o cümlenin dogrulugunu ve yanlisligini kanitlamaya yetmiyor.
Ne kadar tamamlamaya calisirsak calisalim, hep de eksik kalacak. 
Bence bunda da bir sorun yok.

Neden Gödel'in kaniti matematigin temellerini sarsiyor? Neresi sarsiyor?

Benim göremedigim, atladigim sey nedir?

tibet



      
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20091230/c5638c5a/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi