[MD-sorular] Gödel'in eksiklik teoremi

[Ali Nesin]

Sorunu anlatacagim ama once perspektifini degistirmem lazim.

Iki turlu teori olur dogada:
1) Grup teorisi gibi, aksiyomlarini zaten tahmin ettigin teoriler. 
Bunlar genellikle sonlu sayida aksiyom icerirler. Oyle olmasa da en 
azindan recursive'dirler.
2) Elinde oncelikli olarak bir teori degil matematiksel bir yapi olur. 
Ornegin (R, +, ., <, 0, 1) gibi (gercel sayilar yapisi). Buna dilersen 
exp ve sin ve cos fonksiyonlarini da ekleyebilirsin. Simdi bu yapida 
dogru olan tum onermeleri al. Bu bir teoridir ve elbette celiskisi 
olmayan bir teoridir (cunku teorinin onermelerini dogrulayan bir yapi 
vardir, dolayisiyla teoriden celiski cikamaz.). Ustelik herhangi bir 
onerme icin, ya bu onerme ya da bu onermenin degillemesi teoridedir. 
Yani bu tam bir teoridir. Bu teori recursive midir? Recursive olmasa da 
recursively enumerable midir? Ana soru bu. Cunku neyin teoride neyin 
teoride olmadigini bilmen lazim teorinin bir ise yaramasi icin.

Birincisinde teoriden basliyorsun, ikincisinde yapidan.

1) Yukardaki birinci durumdaki gibi Peano aritmetigini alabilirsin ya da 
grup teorisini alabilirsin ya da "theory of totally dense ordered sets 
without end points"i alabilirsin ve bu teorilerin tam olup olmadigi 
sorusunu sorarsin. Ilk ikisi tam degildir, ucuncusu tamdir.
2) Ikinci durumdaki gibi bir yapi alip, bu yapinin teorisini 
aksiyomlayan sonlu, o da olmadi recursive, o da olmadi recursively 
enumerable bir aksiyom sistemi bulmak istersin.

Simdi (N, +, x, <, 0, 1) yapisi (yani dogal sayilar yapisi) cok dogal 
bir yapidir. Bu yapida dogru olan onermeleri recursively enumerable bir 
bicimde yazabilir miyim? Daha temel bir soru: Sonlu sayida onermeyle bu 
teoriyi aksiyomatize edebilir miyim? Yani bu yapida dogru olan her 
onerme, onceden belirlenmis sonlu sayida aksiyomun bir sonucu mudur? 
yanit bildigin gibi olumsuz.

Ali



tibet efendi wrote:
> Gödel'in eksiklik teoremi'yle ilgili kafama takilan bir sey var.
>
> Gödel'in eksiklik teoremi su:
> Dogal sayilarin toplamasini ve carpmasini iceren "recursively 
> enumerable" bir aksiyom sistemi, celiski üretmiyorsa eksik olmak 
> zorundadir.
> Yani o sistemde dogrulugu ve yanlisligi kanitlanamayan önermeler olmak 
> zorundadir.
>
> Bu teorem neden bu kadar büyük sansasyon yaratmis anlamiyorum.
>
> 1) Gödel bunu kanitlamak icin "bu önerme kanitlanamaz" gibi gicik ve 
> kendine gönderme yapan bir önerme yazilabilecegini gösteriyor.
> Iyi de bu kendine gönderme yapan gicik önermeleri bir sekilde 
> yasaklarsak, belki de sorun cözülecek.
> Yani bu gicik önermeler, öyle kimsenin de "bunun dogrulugunu ya da 
> yanlisligini kanitlayamazsam dünya bana zindan olur" diye düsündügü 
> önermeler degildir herhalde.
>
> Neden bütün önermelerin dogrulugunu ya da yanlisligini kanitlamak bu 
> kadar mühim? Bir örnekle acayim:
>
> 2) Grup teorisine bakalim. Grup teorisinde su cümlenin ne yanlisligini 
> ne de dogrulugunu kanitlayabiliriz: "her x ve y icin xy=yx esitligi 
> dogrudur".
> Cünkü abelyen gruplar vardir, abelyen olmayan gruplar vardir.
>
> Yani grup aksiyomlari "eksik"tir.
> Ama bu bizi rahatsiz etmiyor.
> Neden rahatsiz etsin ki?
>
> Ayni sekilde diyebilmeliyiz ki:
> "gödel'in gicik cümlesinin dogru oldugu, dogal sayilar aritmetigini 
> iceren modeller vardir,
> ama ayni sekilde o cümlenin yanlis oldugu dogal sayilar aritmetigini 
> iceren modeller vardir."
>
> Dolayisiyla aksiyom sistemi o cümlenin dogrulugunu ve yanlisligini 
> kanitlamaya yetmiyor.
> Ne kadar tamamlamaya calisirsak calisalim, hep de eksik kalacak.
> Bence bunda da bir sorun yok.
>
> Neden Gödel'in kaniti matematigin temellerini sarsiyor? Neresi sarsiyor?
>
> Benim göremedigim, atladigim sey nedir?
>
> tibet
>
>
> ------------------------------------------------------------------------
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular