[MD-sorular] Gödel'in eksiklik teoremi
Ali Nesin
anesin at nesinvakfi.org
31 Ara 2009 Per 01:33:03 EET
Dogal sayilari Peano aritmetiginin en kucuk modeli olarak alabilirsin.
MD-2003-IV'te bahsettigim gibi de yapabilirsin. Tekrar ediyorum orada
yaptiklarimi:
x bir kumeyse, S(x) = x bilesim {x} kumesi olsun.
Daha sonra, x bir dogal sayiysa S(x) = x + 1 olacak. Simdilik okumaya
devam et.
Eger bir A kumesi boskumeyi eleman olarak iceriyorsa ve A'daki her a
elemani icin S(a)'yi da eleman olarak iceriyorsa, o zaman o kumeye
"tumevarimsal kume" diyelim.
Kumevarimsal en az bir kumenin varligi kumeler kuraminin bir aksiyomudur.
Tumevarimsal bir kume dogal sayilar kumesi olmaya namzet, ancak cok
buyuk olabilir.
Teorem: Tum tumevarimsal kumelerin kesisimi bir kumedir, ve
tumevarimsaldir, dolayisiyla en kucuk tumevarimsal kumedir.
Iste bu en kucuk tumevarimsal kumeye N denir, dogal sayilar kumesi.
S : N --> N bir fonksiyondur. Ayrica birebirdir ve 0 disinda her elemani
vurur.
0 = boskume olsun.
1 = S(0) olsun.
Sonra toplamayi ve carpmayi ve siralamayi tanimla.
Al sana dogal sayilar kumesi.
Ayrintilar icin MD-2003-IV'un kapak konusuna bak. Orada olabilecek en
basit kumeler kuramindan hareketle dogal sayilari tanimladik.
Dogrulugun tanimi cok basit ve nesnel. Atla deve degil. Ustunde fazla
durma, cunku dogruluk bir modelde dogrudur. Ornegin 2 + 2 = 4 onermesi,
modelde gercekten 2 + 2 = 4 ise dogrudur. Ya da bir noktadan bir dogruya
bir paralel gecer, gercekten oyle oluyorsa. Bu cok derin bir kavram
degildir ama herkesi ilk goruste sasirtir. Kanit kavrami daha derindir.
Kanitlanmakla dogru olmak arasindaki ayrimi Godel gozumuze sokmustur.
Kanitlanan her sey dogrudur ama dogru olan her sey kanitlanamayabilir...
Reel sayilari da MD'de tanimladik. Once N'yi tanimladik. Yukarda soz
ettim. Sonra 2006-IV'te N'den hareketle Z'yi ve gene ayni sayida Z'den
hareketle Q'yu (field of fractions / bolum cismi) tanimladik. Sonra
2007-I ve II'de Q'den hareketle R'yi tanimladik (Q'nun Cauchy dizilerini
yakinsak kilarak, yani Q'deki kok 2 gibi delikleri tikayarak, yani Q'yu
tamamlayarak.)
Butun bunlar cok dogal tanimlar.
www.matematikdunyasi.org sayfasinin altinda ve sagda kapak konularimiz
var. Zahmet olmasin diye asagiya aliyorum.
Ali
Geçmis, Kapak Konular?
2003-I Fonksiyonlar
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2003-I> (Functions)
2003-II Özyap? Dönüs,ümleri
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2003-II> (Automorphisms)
2003-III Çizgeler
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2003-III> (Graphs)
2003-IV 2 x 2 = 4 <http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2003-IV>
(Kümeler kuram? / Set theory)
2004-I Halkalar, Asallar ve I.ndirgenemezler (1)
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2004-I>
2004-II Halkalar, Asallar ve I.ndirgenemezler (2)
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2004-II>
2004-III Modüler ve /p/-sel Say?lar
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2004-III> (Modular and
/p/-adic numbers)
2004-IV Geometrik Kombinatorik
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2004-IV>
2005-I Sayma <http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2005-I>
(Counting)
2005-II Konikler (1)
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2005-II> (Conics I)
2005-III Konikler (2)
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2005-III> (Conics II)
2005-IV S?ralamalar
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2005-IV> (Orderings)
2006-I Ordinaller
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2006-I>(Ordinals)
2006-II Seçim Beliti ve Zorn Önsav?
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2006-II>(Axiom of choice)
2006-III Kardinal Say?lar
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2006-III>(Cardinal numbers)
2006-IV Tamsay?lar, Kesirli Say?lar ve S?ral? Halkalar
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2006-IV> (Integers,
rationals and totally ordered rings)
2007-I Kesirli Say? Dizileri ve Gerçel Say?lar (I)
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2007-I> (Rational sequences
and construction of real numbers I)
2007-II Gerçel Say?lar?n I.ns,as? (II)
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2007-II> (Construction of
real numbers II)
2007-III Analiz I - Diziler
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2007-III> (Analysis I -
Sequences)
2007-IV Analiz II - Diziler ve exp Fonksiyonu
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2007-IV> (Analysis II -
Sequences and exp Function)
2008-I Analiz III - Seriler
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2008-I> (Analysis III -
Series)
2008-II Analiz IV - Seriler
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2008-II> (Analysis IV -
Series)
2008-III Analiz V - Süreklilik ve Limit
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2008-III> (Analysis V -
Continuity and limits)
2008-IV Analiz VI - Düzgün Yak?nsakl?k
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2008-III> (Analysis VI -
Uniform convergence)
2009-I-II Topoloji
<http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/?sayi=2009-I-II> (Topology)
tibet efendi wrote:
> Tamam anladim biraz. Ama o zaman da su takiliyor kafama, belki cok
> basit ama cevabini bilmiyorum, sormam gerek:
> (N, +, x, <, 0, 1) yapisinin ne oldugunu biz nereden biliyoruz?
> Yani dogal sayilarin tanimini nasil yapiyoruz?
>
> Dedik ki:
> Dogal sayilar yapisinda dogru olan ama Peano Aksiyomlarindan (toplama
> carpma dahil) hareketle kanitlanamayan önermeler vardir.
> Ama "dogal sayilar yapisinda dogru" oldugunu iddia ettigimiz o önerme,
> neye göre dogru, kime göre dogru? Dogrulugun tanimi ne? Dogal sayilar
> yapisinda dogru olmak ne demek?
>
> Biz dogal sayilari zaten Peano Aksiyomlariyla tanimlamiyor muyuz?
> O zaman dogal sayilar yapisi, Peano Aksiyomlarinin tanimlamaya gücünün
> yettiginin ötesinde bir sey midir?
> Öyleyse nasil bir seydir?
> Ne oldugunu biz de bilmiyorsak herhangi bir önermenin o yapida illa ya
> dogru ya da yanlis oldugunu (ikisi birden olamadigini) nereden biliyoruz?
>
> Ayni sey Reel sayilar icin de gecerli. Onu da aksiyomlarla tanimladik
> sonucta.
>
> Bana yaptigimiz sey su gibi geliyor:
> "Aksiyomlarla tanimladigimiz yapidan o aksiyomlarin
> tanimlayabildiginin ötesinde bir sey olmasini bekliyor sonra öyle
> olmadigini görünce hayal kirikligina ugruyoruz"
>
> Kafam o kadar karisti ki gögsüm sikisti.
> Sanki bilmem gereken cok basit bir seyi bilmiyorum da o yüzden kafan
> karisiyor.
>
> Neyi atliyorum? ya da nerede hata yapiyorum?
>
> tibet
>
>
>
> --- On *Wed, 12/30/09, Ali Nesin /<anesin at nesinvakfi.org>/* wrote:
>
>
> From: Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
> Subject: Re: [MD-sorular] Gödel'in eksiklik teoremi
> To: "tibet efendi" <tibetefendi at yahoo.com>
> Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
> Date: Wednesday, December 30, 2009, 2:52 PM
>
>
> Sorunu anlatacagim ama once perspektifini degistirmem lazim.
>
> Iki turlu teori olur dogada:
> 1) Grup teorisi gibi, aksiyomlarini zaten tahmin ettigin teoriler.
> Bunlar genellikle sonlu sayida aksiyom icerirler. Oyle olmasa da
> en azindan recursive'dirler.
> 2) Elinde oncelikli olarak bir teori degil matematiksel bir yapi
> olur. Ornegin (R, +, ., <, 0, 1) gibi (gercel sayilar yapisi).
> Buna dilersen exp ve sin ve cos fonksiyonlarini da ekleyebilirsin.
> Simdi bu yapida dogru olan tum onermeleri al. Bu bir teoridir ve
> elbette celiskisi olmayan bir teoridir (cunku teorinin
> onermelerini dogrulayan bir yapi vardir, dolayisiyla teoriden
> celiski cikamaz.). Ustelik herhangi bir onerme icin, ya bu onerme
> ya da bu onermenin degillemesi teoridedir. Yani bu tam bir
> teoridir. Bu teori recursive midir? Recursive olmasa da
> recursively enumerable midir? Ana soru bu. Cunku neyin teoride
> neyin teoride olmadigini bilmen lazim teorinin bir ise yaramasi icin.
>
> Birincisinde teoriden basliyorsun, ikincisinde yapidan.
>
> 1) Yukardaki birinci durumdaki gibi Peano aritmetigini alabilirsin
> ya da grup teorisini alabilirsin ya da "theory of totally dense
> ordered sets without end points"i alabilirsin ve bu teorilerin tam
> olup olmadigi sorusunu sorarsin. Ilk ikisi tam degildir, ucuncusu
> tamdir.
> 2) Ikinci durumdaki gibi bir yapi alip, bu yapinin teorisini
> aksiyomlayan sonlu, o da olmadi recursive, o da olmadi recursively
> enumerable bir aksiyom sistemi bulmak istersin.
>
> Simdi (N, +, x, <, 0, 1) yapisi (yani dogal sayilar yapisi) cok
> dogal bir yapidir. Bu yapida dogru olan onermeleri recursively
> enumerable bir bicimde yazabilir miyim? Daha temel bir soru: Sonlu
> sayida onermeyle bu teoriyi aksiyomatize edebilir miyim? Yani bu
> yapida dogru olan her onerme, onceden belirlenmis sonlu sayida
> aksiyomun bir sonucu mudur? yanit bildigin gibi olumsuz.
>
> Ali
>
>
>
> tibet efendi wrote:
> > Gödel'in eksiklik teoremi'yle ilgili kafama takilan bir sey var.
> >
> > Gödel'in eksiklik teoremi su:
> > Dogal sayilarin toplamasini ve carpmasini iceren "recursively
> enumerable" bir aksiyom sistemi, celiski üretmiyorsa eksik olmak
> zorundadir.
> > Yani o sistemde dogrulugu ve yanlisligi kanitlanamayan önermeler
> olmak zorundadir.
> >
> > Bu teorem neden bu kadar büyük sansasyon yaratmis anlamiyorum.
> >
> > 1) Gödel bunu kanitlamak icin "bu önerme kanitlanamaz" gibi
> gicik ve kendine gönderme yapan bir önerme yazilabilecegini
> gösteriyor.
> > Iyi de bu kendine gönderme yapan gicik önermeleri bir sekilde
> yasaklarsak, belki de sorun cözülecek.
> > Yani bu gicik önermeler, öyle kimsenin de "bunun dogrulugunu ya
> da yanlisligini kanitlayamazsam dünya bana zindan olur" diye
> düsündügü önermeler degildir herhalde.
> >
> > Neden bütün önermelerin dogrulugunu ya da yanlisligini
> kanitlamak bu kadar mühim? Bir örnekle acayim:
> >
> > 2) Grup teorisine bakalim. Grup teorisinde su cümlenin ne
> yanlisligini ne de dogrulugunu kanitlayabiliriz: "her x ve y icin
> xy=yx esitligi dogrudur".
> > Cünkü abelyen gruplar vardir, abelyen olmayan gruplar vardir.
> >
> > Yani grup aksiyomlari "eksik"tir.
> > Ama bu bizi rahatsiz etmiyor.
> > Neden rahatsiz etsin ki?
> >
> > Ayni sekilde diyebilmeliyiz ki:
> > "gödel'in gicik cümlesinin dogru oldugu, dogal sayilar
> aritmetigini iceren modeller vardir,
> > ama ayni sekilde o cümlenin yanlis oldugu dogal sayilar
> aritmetigini iceren modeller vardir."
> >
> > Dolayisiyla aksiyom sistemi o cümlenin dogrulugunu ve
> yanlisligini kanitlamaya yetmiyor.
> > Ne kadar tamamlamaya calisirsak calisalim, hep de eksik kalacak.
> > Bence bunda da bir sorun yok.
> >
> > Neden Gödel'in kaniti matematigin temellerini sarsiyor? Neresi
> sarsiyor?
> >
> > Benim göremedigim, atladigim sey nedir?
> >
> > tibet
> >
> >
> >
> ------------------------------------------------------------------------
> >
> > _______________________________________________
> > MD-sorular e-posta listesi
> > sorular at matematikdunyasi.org
> </mc/compose?to=sorular at matematikdunyasi.org>
> > http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
-------------- next part --------------
An HTML attachment was scrubbed...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20091231/24a7a55b/attachment.htm
MD-sorular mesaj listesiyle ilgili
daha fazla bilgi