[MD-sorular] Peano Aksiyomlariyla dogal sayilar arasindaki ayrim

[Ali Nesin]

Bunu MD'de yazmadim. neden yazmadim bilmiyorum. Dalgaya dustum herhalde. 
Oysa cok ince, derin ve hos bir ayrinti.

Dogal sayilar soyle bir yapidir:

(N, S, 0) diye bir ucludur her seyden once.
Burada:
N bir kumedir.
S : N ---> N bir fonksiyondur.
0, N'nin bir elemanidir.
Ayrica,
S birebirdir.
Ve S(N) = N \ {0} olur.
Bunlar kolaydi. Simdi sonuncusu: Eger A, N'nin bir altkumesiyse ve A, 
0'i iceriyorsa ve A'daki her a elemani icin S(a) da A'daysa, o zaman A = 
N olur.
Kumeler kuraminda bu ozellikleri saglayan up to isomorphism bir ve bir 
tane (N, S, 0) yapisi vardir. Bir onceki yazimda betimledim bu yapiyi. 
Bunu kanitlamak da pek zor degildir.

Peano Aksiyomlari'na gelelim, daha dogrusu Peano Aksiyomlarinin modellerine.
Bu modeller de (N, S, 0) diye bir ucludur her seyden once.
Burada:
N bir kumedir.
S : N ---> N bir fonksiyondur.
0, N'nin bir elemanidir.
Ayrica,
S birebirdir.
Ve S(N) = N \ {0} olur.
Bunlar kolaydi. Simdi sonuncusu: Eger f(n), S ve 0 ile yazilan bir 
bilinmeyenli bir formulse ve f(0) dogruysa ve N'nin her n elemani icin 
f(n) dogru oldugunda f(S(n)) de dogru oluyorsa, o zaman f(n) formulu 
N'nin her elemani icin dogrudur.
Bu sonuncusunu soyle ifade edeyim ki yukardakiyle ayrim daha iyi 
anlasilsin. Bir f(n) formulu icin A = {n in N : f(n) dogru} biciminde 
yazilan her kume yukardaki ozelligi saglar.

Dikkat edersen ikincisi daha zayif. Birincisi tumevarimi her altkume 
icin verirken, ikincisi sadece bir formulle ifade edilebilen kumeler 
icin veriyor.

Peano aksiyomlari "birinci dereceden" aksiyomlardir, yani sadece 
elemanlardan soz eder.
Oysa ilk verdigim tanimda altkumelerden soz ediyordu.
Peano aksiyomlari gibi birinci dereceden tumcelerden olusan teorilerin 
her kardinalitede (dolayisiyla izomorfic olmayan) modelleri vardir. Ama 
cok daha guclu bir sey soyleyecegim simdi: Peano aritmetiginin bircok 
modeli vardir. Bazi onermeler bu modellerin birinde dogrudur, bir 
digerinde yanlistir. Dogrusuyla bu tur onermeler Peano aritmetigiyle 
kanitlanamazlar. Bu da iste Godel!

Ali
 N'nin bir altkumesiyse ve A, 0'i iceriyorsa ve A'daki her a elemani 
icin S(a) da A'daysa, o zaman A = N olur.
Kumeler kuraminda bu ozellikleri saglayan up to isomorphism bir ve bir 
tane (N, S, 0) yapisi vardir. Bir onceki yazimda betimledim bu yapiyi. 
Bunu kanitlamak da pek zor degildir.




tibet efendi wrote:
> Tamam anladim biraz. Ama o zaman da su takiliyor kafama, belki cok 
> basit ama cevabini bilmiyorum, sormam gerek:
> (N, +, x, <, 0, 1) yapisinin ne oldugunu biz nereden biliyoruz?
> Yani dogal sayilarin tanimini nasil yapiyoruz?
>
> Dedik ki:
> Dogal sayilar yapisinda dogru olan ama Peano Aksiyomlarindan (toplama 
> carpma dahil) hareketle kanitlanamayan önermeler vardir.
> Ama "dogal sayilar yapisinda dogru" oldugunu iddia ettigimiz o önerme, 
> neye göre dogru, kime göre dogru? Dogrulugun tanimi ne? Dogal sayilar 
> yapisinda dogru olmak ne demek?
>
> Biz dogal sayilari zaten Peano Aksiyomlariyla tanimlamiyor muyuz?
> O zaman dogal sayilar yapisi, Peano Aksiyomlarinin tanimlamaya gücünün 
> yettiginin ötesinde bir sey midir?
> Öyleyse nasil bir seydir?
> Ne oldugunu biz de bilmiyorsak herhangi bir önermenin o yapida illa ya 
> dogru ya da yanlis oldugunu (ikisi birden olamadigini) nereden biliyoruz?
>
> Ayni sey Reel sayilar icin de gecerli. Onu da aksiyomlarla tanimladik 
> sonucta.
>
> Bana yaptigimiz sey su gibi geliyor:
> "Aksiyomlarla tanimladigimiz yapidan o aksiyomlarin 
> tanimlayabildiginin ötesinde bir sey olmasini bekliyor sonra öyle 
> olmadigini görünce hayal kirikligina ugruyoruz"
>
> Kafam o kadar karisti ki gögsüm sikisti.
> Sanki bilmem gereken cok basit bir seyi bilmiyorum da o yüzden kafan 
> karisiyor.
>
> Neyi atliyorum? ya da nerede hata yapiyorum?
>
> tibet
>
>
>
> --- On *Wed, 12/30/09, Ali Nesin /<anesin at nesinvakfi.org>/* wrote:
>
>
>     From: Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>     Subject: Re: [MD-sorular] Gödel'in eksiklik teoremi
>     To: "tibet efendi" <tibetefendi at yahoo.com>
>     Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
>     Date: Wednesday, December 30, 2009, 2:52 PM
>
>
>     Sorunu anlatacagim ama once perspektifini degistirmem lazim.
>
>     Iki turlu teori olur dogada:
>     1) Grup teorisi gibi, aksiyomlarini zaten tahmin ettigin teoriler.
>     Bunlar genellikle sonlu sayida aksiyom icerirler. Oyle olmasa da
>     en azindan recursive'dirler.
>     2) Elinde oncelikli olarak bir teori degil matematiksel bir yapi
>     olur. Ornegin (R, +, ., <, 0, 1) gibi (gercel sayilar yapisi).
>     Buna dilersen exp ve sin ve cos fonksiyonlarini da ekleyebilirsin.
>     Simdi bu yapida dogru olan tum onermeleri al. Bu bir teoridir ve
>     elbette celiskisi olmayan bir teoridir (cunku teorinin
>     onermelerini dogrulayan bir yapi vardir, dolayisiyla teoriden
>     celiski cikamaz.). Ustelik herhangi bir onerme icin, ya bu onerme
>     ya da bu onermenin degillemesi teoridedir. Yani bu tam bir
>     teoridir. Bu teori recursive midir? Recursive olmasa da
>     recursively enumerable midir? Ana soru bu. Cunku neyin teoride
>     neyin teoride olmadigini bilmen lazim teorinin bir ise yaramasi icin.
>
>     Birincisinde teoriden basliyorsun, ikincisinde yapidan.
>
>     1) Yukardaki birinci durumdaki gibi Peano aritmetigini alabilirsin
>     ya da grup teorisini alabilirsin ya da "theory of totally dense
>     ordered sets without end points"i alabilirsin ve bu teorilerin tam
>     olup olmadigi sorusunu sorarsin. Ilk ikisi tam degildir, ucuncusu
>     tamdir.
>     2) Ikinci durumdaki gibi bir yapi alip, bu yapinin teorisini
>     aksiyomlayan sonlu, o da olmadi recursive, o da olmadi recursively
>     enumerable bir aksiyom sistemi bulmak istersin.
>
>     Simdi (N, +, x, <, 0, 1) yapisi (yani dogal sayilar yapisi) cok
>     dogal bir yapidir. Bu yapida dogru olan onermeleri recursively
>     enumerable bir bicimde yazabilir miyim? Daha temel bir soru: Sonlu
>     sayida onermeyle bu teoriyi aksiyomatize edebilir miyim? Yani bu
>     yapida dogru olan her onerme, onceden belirlenmis sonlu sayida
>     aksiyomun bir sonucu mudur? yanit bildigin gibi olumsuz.
>
>     Ali
>
>
>
>     tibet efendi wrote:
>     > Gödel'in eksiklik teoremi'yle ilgili kafama takilan bir sey var.
>     >
>     > Gödel'in eksiklik teoremi su:
>     > Dogal sayilarin toplamasini ve carpmasini iceren "recursively
>     enumerable" bir aksiyom sistemi, celiski üretmiyorsa eksik olmak
>     zorundadir.
>     > Yani o sistemde dogrulugu ve yanlisligi kanitlanamayan önermeler
>     olmak zorundadir.
>     >
>     > Bu teorem neden bu kadar büyük sansasyon yaratmis anlamiyorum.
>     >
>     > 1) Gödel bunu kanitlamak icin "bu önerme kanitlanamaz" gibi
>     gicik ve kendine gönderme yapan bir önerme yazilabilecegini
>     gösteriyor.
>     > Iyi de bu kendine gönderme yapan gicik önermeleri bir sekilde
>     yasaklarsak, belki de sorun cözülecek.
>     > Yani bu gicik önermeler, öyle kimsenin de "bunun dogrulugunu ya
>     da yanlisligini kanitlayamazsam dünya bana zindan olur" diye
>     düsündügü önermeler degildir herhalde.
>     >
>     > Neden bütün önermelerin dogrulugunu ya da yanlisligini
>     kanitlamak bu kadar mühim? Bir örnekle acayim:
>     >
>     > 2) Grup teorisine bakalim. Grup teorisinde su cümlenin ne
>     yanlisligini ne de dogrulugunu kanitlayabiliriz: "her x ve y icin
>     xy=yx esitligi dogrudur".
>     > Cünkü abelyen gruplar vardir, abelyen olmayan gruplar vardir.
>     >
>     > Yani grup aksiyomlari "eksik"tir.
>     > Ama bu bizi rahatsiz etmiyor.
>     > Neden rahatsiz etsin ki?
>     >
>     > Ayni sekilde diyebilmeliyiz ki:
>     > "gödel'in gicik cümlesinin dogru oldugu, dogal sayilar
>     aritmetigini iceren modeller vardir,
>     > ama ayni sekilde o cümlenin yanlis oldugu dogal sayilar
>     aritmetigini iceren modeller vardir."
>     >
>     > Dolayisiyla aksiyom sistemi o cümlenin dogrulugunu ve
>     yanlisligini kanitlamaya yetmiyor.
>     > Ne kadar tamamlamaya calisirsak calisalim, hep de eksik kalacak.
>     > Bence bunda da bir sorun yok.
>     >
>     > Neden Gödel'in kaniti matematigin temellerini sarsiyor? Neresi
>     sarsiyor?
>     >
>     > Benim göremedigim, atladigim sey nedir?
>     >
>     > tibet
>     >
>     >
>     >
>     ------------------------------------------------------------------------
>     >
>     > _______________________________________________
>     > MD-sorular e-posta listesi
>     > sorular at matematikdunyasi.org
>     </mc/compose?to=sorular at matematikdunyasi.org>
>     > http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
>