[MD-sorular] Peano Aksiyomlariyla dogal sayilar arasindaki ayrim (Das Entscheidungsproblem)

[Tarik Ozkanli]

Merhaba,

Bu konuda faydalı olabilecek bir kaç bilgi kırıntısı ve yorum denemesi: 

 

Tüm bunlar matematiğin 18. Yüzyıldan itibaren geçirdiği değişim ve evrimle birlikte düşünüldüğünde ve takip edildiğinde çok daha anlamlı oluyor.

Analizin aritmetikselleştirilmesi, küme teorisi ve beraberinde getirdiği paradoksların araştırılması, David Hilbert ekolü ve biçimcilik, sezgicilerin yaklaşımları, "constructive" yaklaşımlar , matematiksel mantığın gelişimi, biçimci projenin Gödel ile başlayan görünürdeki yetersizliği ve başarısızlığı, ispat teorisi, type teorisi gibi gelişmeler bilgisayar bilimlerine kadar uzanmış. Buna parallel olarak ve bunlardan etkilenerek matematiğin bir çok alt dalı da çeşitlenmiş. Standard olmayan analiz çalışmaları mesela.

 

Hesaplanabilirlik, ispatlanabilirlik ve doğruluk kavramı arasındaki ilişkiler ve gerilimler son 2 veya 3 yüzyıldır matematiği şekillendiriyor gibi gözüküyor.

Ama belki de sadece makyajını değiştiriyor ! 

Bu çok önemli bir nokta bence. Tüm bu farklı alanlardaki çalışmalara gerçekten matematiksel gelişme gözüyle bakmayanlar da var. Sadece biçimsel ve ifadesel farklılıkların yeni matematiksel gerçeklere kapı açmadığını dolayısıyla yaratıcı bir faaliyet olmadığını söyleyenler de var. 

Gerçek matematiksel gelişmenin ne olduğu konusu da artık tartışmalı.

 

"..two trends in mathematics that began to diverge in the nineteenth century: general conceptual reasoning about abstractly characterized mathematical structures, on the one hand, and computationally explicit reasoning about symbolically represented objects, on the other..."

 

Yukarıdaki alıntı "Clarifying the nature of the infinite": the development of metamathematics and proof theory, Jeremy Avigad and Erich H. Reck December 11, 2001" adlı makaleden alıntı. Genel bir perspektif arayışı içerisinde olanlara faydalı olabilecek bir makale. Internetten indirilebilir.

 

Bu arada kategori teorisindeki "effective topos" kategorisi bu konuda kavramsal bir toparlama sağlama yolunda iyi bir adım olabilir. 

Tabii kategori teorisini sadece makyaj olarak görmeyenlerdenseniz.

 

Tarık Özkanlı

 

From: Kadir GÜLEÇ [mailto:kadir.gulec at spk.gov.tr] 
Sent: Thursday, December 31, 2009 10:37 AM
To: Tarik Ozkanli; tibet efendi; Ali Nesin; Matematik Dunyasi
Subject: RE: [MD-sorular] Peano Aksiyomlariyla dogal sayilar arasindaki ayrim (Das Entscheidungsproblem)

 

Problemin çözülemez olduğunu, lamda cebri kavramını icat eden Alonzo Church gösteriyor, 1937 yılı sanırım.

1938 yılında da Turing Makinaları ve Evrensel Turing Makinası kavramlarını yaratan Alan Turing kanıtlıyor. 

Church-Turing teoremi deniyor. (Church Turing savından farklı)

Charles Petzold'un yazdığı bir kitap var.

Turing'in makalesini çok güzel anlatmış.

 

Kadir Güleç

 

 

Merhaba,

 

Bu kanit makinasindan istedigimiz su: 
"Buna bir aksiyom sistemi verecegiz. Bir de önerme verecegiz (carpma ve toplamayi icerebilecek bu önerme) Bu makina bize o önermenin dogal sayilarda dogru olup olmadigini söyleyecek. Sonlu bir zaman sonra söyleyecek. (cünkü o makina dogal sayilarda dogru olan her önermeyi sayabiliyor olacak, sonsuza kadar süren bir sayma islemi bu. Ama her dogru önerme eninde sonunda bu makinanin agzindan dökülecek, biz öyle istiyoruz).
Makina bunu yapamiyorsa o zaman makinadan beklentimiz o önermenin degilinin dogrulugunu söylemesi.
Yani phi önermesi verildiginde kanit makinasi bize ya phi'yi kanitlayacak ya da phi degil'i"

Gödel diyor ki: Böyle bir makina olamaz.

Sanki yukarıdaki açıklama "Halting teoremi " denilen ve Alan Turing in ifade ettiği bir durumla daha çok örtüşüyor.

Tabi Turing bu ifadeyi Gödel den sonra yazmış.

"Hesaplanabilir sayılar üzerine" diye harika bir makalesi var 1936 sanırım.

 

Buradan ispat ile program (turing makinası) arasındaki paralelliğe ve "type teorisi" ne geliyoruz.

 

 

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of tibet efendi
Sent: Thursday, December 31, 2009 4:48 AM
To: Ali Nesin; Matematik Dunyasi
Subject: Re: [MD-sorular] Peano Aksiyomlariyla dogal sayilar arasindaki ayrim

 

Su son cevap cok aciklayici oldu, tesekkür ederim.

Peki ikinci dereceden dediginiz (altkümeler hakkinda söz söyleyen) cümleyi neden aksiyom olarak kullanamiyoruz? Birinci dereceden mantik buna izin vermedigi icin mi?
Peki o zaman bu tür ikinci dereceden cümlelerin kurulabildigi ikinci dereceden bir mantik vardir. Onunla yapmaya calisalim. O zaman da kanitlanabilir önermeler recursively enumerable olmaktan mi cikiyor?

Eger öyleyse bütün bunlardan söyle bir sonuc cikariyorum:

Bütün mesele bir kanit makinasi yapmak meselesi. Bu kanit makinasi lafini daha önce bir yerlerde görmüstüm, ne oldugunu simdi anladim galiba.

Bu kanit makinasindan istedigimiz su: 
"Buna bir aksiyom sistemi verecegiz. Bir de önerme verecegiz (carpma ve toplamayi icerebilecek bu önerme) Bu makina bize o önermenin dogal sayilarda dogru olup olmadigini söyleyecek. Sonlu bir zaman sonra söyleyecek. (cünkü o makina dogal sayilarda dogru olan her önermeyi sayabiliyor olacak, sonsuza kadar süren bir sayma islemi bu. Ama her dogru önerme eninde sonunda bu makinanin agzindan dökülecek, biz öyle istiyoruz).
Makina bunu yapamiyorsa o zaman makinadan beklentimiz o önermenin degilinin dogrulugunu söylemesi.
Yani phi önermesi verildiginde kanit makinasi bize ya phi'yi kanitlayacak ya da phi degil'i"

Gödel diyor ki: Böyle bir makina olamaz.




--- On Wed, 12/30/09, Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org> wrote:


From: Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
Subject: Peano Aksiyomlariyla dogal sayilar arasindaki ayrim
To: "tibet efendi" <tibetefendi at yahoo.com>
Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Wednesday, December 30, 2009, 4:49 PM


Bunu MD'de yazmadim. neden yazmadim bilmiyorum. Dalgaya dustum herhalde. Oysa cok ince, derin ve hos bir ayrinti.

Dogal sayilar soyle bir yapidir:

(N, S, 0) diye bir ucludur her seyden once.
Burada:
N bir kumedir.
S : N ---> N bir fonksiyondur.
0, N'nin bir elemanidir.
Ayrica,
S birebirdir.
Ve S(N) = N \ {0} olur.
Bunlar kolaydi. Simdi sonuncusu: Eger A, N'nin bir altkumesiyse ve A, 0'i iceriyorsa ve A'daki her a elemani icin S(a) da A'daysa, o zaman A = N olur.
Kumeler kuraminda bu ozellikleri saglayan up to isomorphism bir ve bir tane (N, S, 0) yapisi vardir. Bir onceki yazimda betimledim bu yapiyi. Bunu kanitlamak da pek zor degildir.

Peano Aksiyomlari'na gelelim, daha dogrusu Peano Aksiyomlarinin modellerine.
Bu modeller de (N, S, 0) diye bir ucludur her seyden once.
Burada:
N bir kumedir.
S : N ---> N bir fonksiyondur.
0, N'nin bir elemanidir.
Ayrica,
S birebirdir.
Ve S(N) = N \ {0} olur.
Bunlar kolaydi. Simdi sonuncusu: Eger f(n), S ve 0 ile yazilan bir bilinmeyenli bir formulse ve f(0) dogruysa ve N'nin her n elemani icin f(n) dogru oldugunda f(S(n)) de dogru oluyorsa, o zaman f(n) formulu N'nin her elemani icin dogrudur.
Bu sonuncusunu soyle ifade edeyim ki yukardakiyle ayrim daha iyi anlasilsin. Bir f(n) formulu icin A = {n in N : f(n) dogru} biciminde yazilan her kume yukardaki ozelligi saglar.

Dikkat edersen ikincisi daha zayif. Birincisi tumevarimi her altkume icin verirken, ikincisi sadece bir formulle ifade edilebilen kumeler icin veriyor.

Peano aksiyomlari "birinci dereceden" aksiyomlardir, yani sadece elemanlardan soz eder.
Oysa ilk verdigim tanimda altkumelerden soz ediyordu.
Peano aksiyomlari gibi birinci dereceden tumcelerden olusan teorilerin her kardinalitede (dolayisiyla izomorfic olmayan) modelleri vardir. Ama cok daha guclu bir sey soyleyecegim simdi: Peano aritmetiginin bircok modeli vardir. Bazi onermeler bu modellerin birinde dogrudur, bir digerinde yanlistir. Dogrusuyla bu tur onermeler Peano aritmetigiyle kanitlanamazlar. Bu da iste Godel!

Ali
N'nin bir altkumesiyse ve A, 0'i iceriyorsa ve A'daki her a elemani icin S(a) da A'daysa, o zaman A = N olur.
Kumeler kuraminda bu ozellikleri saglayan up to isomorphism bir ve bir tane (N, S, 0) yapisi vardir. Bir onceki yazimda betimledim bu yapiyi. Bunu kanitlamak da pek zor degildir.




tibet efendi wrote:
> Tamam anladim biraz. Ama o zaman da su takiliyor kafama, belki cok basit ama cevabini bilmiyorum, sormam gerek:
> (N, +, x, <, 0, 1) yapisinin ne oldugunu biz nereden biliyoruz?
> Yani dogal sayilarin tanimini nasil yapiyoruz?
> 
> Dedik ki:
> Dogal sayilar yapisinda dogru olan ama Peano Aksiyomlarindan (toplama carpma dahil) hareketle kanitlanamayan önermeler vardir.
> Ama "dogal sayilar yapisinda dogru" oldugunu iddia ettigimiz o önerme, neye göre dogru, kime göre dogru? Dogrulugun tanimi ne? Dogal sayilar yapisinda dogru olmak ne demek?
> 
> Biz dogal sayilari zaten Peano Aksiyomlariyla tanimlamiyor muyuz?
> O zaman dogal sayilar yapisi, Peano Aksiyomlarinin tanimlamaya gücünün yettiginin ötesinde bir sey midir?
> Öyleyse nasil bir seydir?
> Ne oldugunu biz de bilmiyorsak herhangi bir önermenin o yapida illa ya dogru ya da yanlis oldugunu (ikisi birden olamadigini) nereden biliyoruz?
> 
> Ayni sey Reel sayilar icin de gecerli. Onu da aksiyomlarla tanimladik sonucta.
> 
> Bana yaptigimiz sey su gibi geliyor:
> "Aksiyomlarla tanimladigimiz yapidan o aksiyomlarin tanimlayabildiginin ötesinde bir sey olmasini bekliyor sonra öyle olmadigini görünce hayal kirikligina ugruyoruz"
> 
> Kafam o kadar karisti ki gögsüm sikisti.
> Sanki bilmem gereken cok basit bir seyi bilmiyorum da o yüzden kafan karisiyor.
> 
> Neyi atliyorum? ya da nerede hata yapiyorum?
> 
> tibet
> 
> 
> 
> --- On *Wed, 12/30/09, Ali Nesin /<anesin at nesinvakfi.org>/* wrote:
> 
> 
>     From: Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>     Subject: Re: [MD-sorular] Gödel'in eksiklik teoremi
>     To: "tibet efendi" <tibetefendi at yahoo.com>
>     Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
>     Date: Wednesday, December 30, 2009, 2:52 PM
> 
> 
>     Sorunu anlatacagim ama once perspektifini degistirmem lazim.
> 
>     Iki turlu teori olur dogada:
>     1) Grup teorisi gibi, aksiyomlarini zaten tahmin ettigin teoriler.
>     Bunlar genellikle sonlu sayida aksiyom icerirler. Oyle olmasa da
>     en azindan recursive'dirler.
>     2) Elinde oncelikli olarak bir teori degil matematiksel bir yapi
>     olur. Ornegin (R, +, ., <, 0, 1) gibi (gercel sayilar yapisi).
>     Buna dilersen exp ve sin ve cos fonksiyonlarini da ekleyebilirsin.
>     Simdi bu yapida dogru olan tum onermeleri al. Bu bir teoridir ve
>     elbette celiskisi olmayan bir teoridir (cunku teorinin
>     onermelerini dogrulayan bir yapi vardir, dolayisiyla teoriden
>     celiski cikamaz.). Ustelik herhangi bir onerme icin, ya bu onerme
>     ya da bu onermenin degillemesi teoridedir. Yani bu tam bir
>     teoridir. Bu teori recursive midir? Recursive olmasa da
>     recursively enumerable midir? Ana soru bu. Cunku neyin teoride
>     neyin teoride olmadigini bilmen lazim teorinin bir ise yaramasi icin.
> 
>     Birincisinde teoriden basliyorsun, ikincisinde yapidan.
> 
>     1) Yukardaki birinci durumdaki gibi Peano aritmetigini alabilirsin
>     ya da grup teorisini alabilirsin ya da "theory of totally dense
>     ordered sets without end points"i alabilirsin ve bu teorilerin tam
>     olup olmadigi sorusunu sorarsin. Ilk ikisi tam degildir, ucuncusu
>     tamdir.
>     2) Ikinci durumdaki gibi bir yapi alip, bu yapinin teorisini
>     aksiyomlayan sonlu, o da olmadi recursive, o da olmadi recursively
>     enumerable bir aksiyom sistemi bulmak istersin.
> 
>     Simdi (N, +, x, <, 0, 1) yapisi (yani dogal sayilar yapisi) cok
>     dogal bir yapidir. Bu yapida dogru olan onermeleri recursively
>     enumerable bir bicimde yazabilir miyim? Daha temel bir soru: Sonlu
>     sayida onermeyle bu teoriyi aksiyomatize edebilir miyim? Yani bu
>     yapida dogru olan her onerme, onceden belirlenmis sonlu sayida
>     aksiyomun bir sonucu mudur? yanit bildigin gibi olumsuz.
> 
>     Ali
> 
> 
> 
>     tibet efendi wrote:
>     > Gödel'in eksiklik teoremi'yle ilgili kafama takilan bir sey var.
>     >
>     > Gödel'in eksiklik teoremi su:
>     > Dogal sayilarin toplamasini ve carpmasini iceren "recursively
>     enumerable" bir aksiyom sistemi, celiski üretmiyorsa eksik olmak
>     zorundadir.
>     > Yani o sistemde dogrulugu ve yanlisligi kanitlanamayan önermeler
>     olmak zorundadir.
>     >
>     > Bu teorem neden bu kadar büyük sansasyon yaratmis anlamiyorum.
>     >
>     > 1) Gödel bunu kanitlamak icin "bu önerme kanitlanamaz" gibi
>     gicik ve kendine gönderme yapan bir önerme yazilabilecegini
>     gösteriyor.
>     > Iyi de bu kendine gönderme yapan gicik önermeleri bir sekilde
>     yasaklarsak, belki de sorun cözülecek.
>     > Yani bu gicik önermeler, öyle kimsenin de "bunun dogrulugunu ya
>     da yanlisligini kanitlayamazsam dünya bana zindan olur" diye
>     düsündügü önermeler degildir herhalde.
>     >
>     > Neden bütün önermelerin dogrulugunu ya da yanlisligini
>     kanitlamak bu kadar mühim? Bir örnekle acayim:
>     >
>     > 2) Grup teorisine bakalim. Grup teorisinde su cümlenin ne
>     yanlisligini ne de dogrulugunu kanitlayabiliriz: "her x ve y icin
>     xy=yx esitligi dogrudur".
>     > Cünkü abelyen gruplar vardir, abelyen olmayan gruplar vardir.
>     >
>     > Yani grup aksiyomlari "eksik"tir.
>     > Ama bu bizi rahatsiz etmiyor.
>     > Neden rahatsiz etsin ki?
>     >
>     > Ayni sekilde diyebilmeliyiz ki:
>     > "gödel'in gicik cümlesinin dogru oldugu, dogal sayilar
>     aritmetigini iceren modeller vardir,
>     > ama ayni sekilde o cümlenin yanlis oldugu dogal sayilar
>     aritmetigini iceren modeller vardir."
>     >
>     > Dolayisiyla aksiyom sistemi o cümlenin dogrulugunu ve
>     yanlisligini kanitlamaya yetmiyor.
>     > Ne kadar tamamlamaya calisirsak calisalim, hep de eksik kalacak.
>     > Bence bunda da bir sorun yok.
>     >
>     > Neden Gödel'in kaniti matematigin temellerini sarsiyor? Neresi
>     sarsiyor?
>     >
>     > Benim göremedigim, atladigim sey nedir?
>     >
>     > tibet
>     >
>     >
>     >
>     ------------------------------------------------------------------------
>     >
>     > _______________________________________________
>     > MD-sorular e-posta listesi
>     > sorular at matematikdunyasi.org
>     </mc/compose?to=sorular at matematikdunyasi.org>
>     > http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
> 
> 

 

 

__________ Information from ESET NOD32 Antivirus, version of virus signature database 4730 (20091230) __________

 

The message was checked by ESET NOD32 Antivirus.

 

http://www.eset.com

 

Bu elektronik posta ve onunla iletilen bütün dosyalar gizlidir ve sadece göndericisi tarafindan almasi amaçlanan yetkili gerçek ya da tüzel kisinin kullanimi içindir. Eger söz konusu yetkili alici degilseniz bu elektronik postanin içerigini açiklamaniz, kopyalamaniz, yönlendirmeniz ve kullanmaniz kesinlikle yasaktir ve bu elektronik postayi derhal silmeniz gerekmektedir. SAMPAŞ bu mesajin içerdigi bilgilerin dogrulugu veya eksiksiz oldugu konusunda herhangi bir garanti vermemektedir. Bu nedenle bu bilgilerin ne sekilde olursa olsun içeriginden, iletilmesinden, alinmasindan ve saklanmasindan sorumlu degildir. Bu mesajdaki görüsler yalnizca gönderen kisiye ait olup, her zaman SAMPAŞın görüslerini yansitmayabilir. Bu e-posta bilinen bütün bilgisayar virüslerine karsi taranmistir. 

 

This e-mail and any files transmitted with it are confidential and intended solely for the use of the individual or entity to whom they are addressed. If you are not the intended recipient you are hereby notified that any dissemination, forwarding, copying or use of any of the information is strictly prohibited, and the e-mail should immediately be deleted. SAMPAS makes no warranty as to the accuracy or completeness of any information contained in this message and hereby excludes any liability of any kind for the information contained therein or for the information transmission, reception, storage or use of such in any way whatsoever.The opinions expressed in this message may belong to sender alone and may not necessarily reflect the opinions of SAMPAS. This e-mail has been scanned for all known computer viruses. 

 

 

 

Bu e-posta mesaji, mesajin alici kisminda belirtilmis olan kullanici icindir. Mesajin alicisi siz degilseniz dogrudan veya dolayli olarak mesaji kullanmayiniz, acmayiniz, dagitmayiniz, yazicidan dokumunu almayiniz veya herhangi bir kismini kopyalamayiniz. Yanlislikla bu mesaj size ulasmissa lutfen, siliniz ve tum kopyalarini yok ederek mesaji gonderene acilen haber veriniz. Bu mesaj icerisinde belirtilenler sadece gondericinin kisisel gorusleridir. Bu gorusler Sermaye Piyasasi Kurulu' nun (SPK) goruslerini yansitmadigi gibi, SPK' yi baglayici da degildir. Bu mesajin icerisinde ya da eklerinde yer alan bilgilerin dogrulugu, butunlugu ve guncelligi SPK tarafindan garanti edilmemektedir ve bilinen viruslere karsi kontrolleri yapilmis olarak yollanan mesajin sitenizde yaratabilecegi zararlardan SPK sorumlu tutulamaz.
This e-mail is intended solely for the use of the individual or entity to whom it is addressed. If you are not the intended addressee of this message, you should not use, open, disseminate, distribute, print or copy this e-mail. If you have received this e-mail in error, please delete it from your system and notify the sender immediately. The Capital Markets Board of Turkey (CMB) does not accept any legal responsibility whatsoever for the contents of this message. Any opinions contained in this message are those of the author and are not given or endorsed by the CMB. The CMB does not warrant the accuracy, integrity and currency of the information transmitted with this message. This message has been detected for all known computer viruses thence CMB is not liable for the occurrence of any system corruption caused by this message.

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20091231/9390812e/attachment.htm