[MD-sorular] Kure yuzeydir: simülasyon?

22 Şub 2009 Paz 22:33:36 EET

Tabii h=0 da bir hiperdüzlemdir. Yani R^n'de yarıküre R^n'deki küreyi R^n
deki hiperdüzlemle (n-1 boyutlu düzlem) kestiğimizdeki bulduğumuz iki
parçadan biri demektir. Kenarsız düşünürüz bunları gerekirse.

Yüzeyin tanımı yarım yamalak oldu. Yarım yamalak bile olmadı, çeyrek yamalak
oldu.

Derste homeomorfizm kelimesi kullanmadan verdik. Mathworld'deki regüler
surface tanımı güzelmiş. Direkt örten almış orada.
Biz şöyle almıştık sanırsak. Hala daha misafirlikteyiz.

x: D'den E^3'e birebir bir fonksiyon olsun. Buna bir yama denir. Burada D,
E^2'nin bir açığı.
Ya bir saniye pardon bu difeomorfizm falan. Jakobyen. Ya bunlar Manfredo Do
Carmo'da gayet güzel yazıyor. Eve gidince bir daha bakarım. Üstünkörü bakıp
derine dalmak istememiştim. Adam orda tersinin sürekliliğinin, işte yüzeyin
falan o tanımların herbişeyinin neden öyle tanımladığımızı daha ilk
sayfalarda anlatmış. Nefis bir kitap... Rank 2 olacakmış. Kısmi türevler
bağımsız. Jakobyeni hiç sevmemiştik, artık sevmeye başladık.

Öyle bir yama olacak ki manifold üzerindeki verilen her p noktasının her
epsilon komşuluğu ile yüzey adayı manifoldumuzun kesişimi Ekare nin bir D
açığından Rküpe tanımladığımız bu regüler birebir ve tersi sürekli olan
yamamızın D altındaki resiminin içinde kalacak. Bu tarz şeyler. Güzel
şeyler.

Tibet Efendi'nin sorularını Sivas-Eskişehir maçını kahvede izlerken
yediğimiz çekirdekten arta kalan kesekağıdına tepesi mavi gövdesi sarı
bakkal kalemiyle bir internet kafede yazıp yolda düşündük. Biz asla sosyete,
elit çocuğu değiliz. Olmadık, olmayacağız. Herkes eşittir.

Bir dersten -mesela Dif geo II- 2 kere kalmak dünyanın en güzel şeyidir
bazen.

22.02.2009 tarihinde Ali ilik <aliilik at gmail.com> yazmış:
>
> Tesekkur. Yarım küre projeksiyonunu bulamadık.
>
> "Bu ekvator dahil olmayan yarim kürelerden en az kac tanesiyle küreyi
> kapatiriz.
> 6'dan az. (Bence 4 yeter)
> Cemberde düsünürsek 3 tane yarim cember (uc noktalari dahil degil)
> yetiyor."
>
> Derste 6'dan suphelenip buna benzer bir soru sorduk: '6 yamadan bazıları
> bazı yerleri fazladan ortuyor. Baska yamalarla ortemezmiyiz?' dedik.
>
> Karpuzun üst yarısını atalım. Altı örttük. Şimdi üstü tekrar kapatalım ama
> biraz sağ yapalım. Sol da bir yer açık kaldı. Oraya da yarım bir karpuz
> yapıştıralım. Demek ki 3 yeter, 4 değil dedik. Ama bu yorumun hatalı
> olduğunu gördük. Çünkü soldaki karpuzu kapattığımızda küre yüzeyinde iki
> açık üçgen kalıyor. Dört tane dik karpuzla örteriz ama. Tabi yarım karpuzun
> kenarlarının tavşanlar tarafından kemirildiğini varsayıyoruz ki açık küme
> olsun.
>
> 4 yeter görüşünüze katılıyoruz ama tabii kanıt lazım.
>
> Çember konusu... Orjin merkezli birim çemberi alalım. (-1, 0) ve (1,0) çap
> uçlarını çıkaralım. (-r, r)'den R^2'ye (-r, r) -> UC={(x,y): xkare+ykare=1,
> y büyük sıfır ve x de -1 ve 1'den farklı} göndermesini alalım. Bir de bunun
> altını alalım. İki tane yamamız var. Ama Çap uçları hala açık. Şimdi bu çap
> uçlarını örtmek için kalkıp da iki tane daha yama almak zorundayız. Bu
> verimsiz birşey. Bunun yerine 3 yama ile örteriz. Alt çember dursun. Üstü
> hafif sağa kaydıralım. Sonra da üçüncü yarıçemberi sola gömelim. Bunların
> denklemlerini kolayca buluruz.
>
> Yarıçemberi nasıl tanımlarız? Çemberi doğruyla, daha doğrusu, 0-çember olan
> (-r, r) açık kümesiyle kesersek yarıçember buluruz. Burada yarıçemberi açık
> küme olarak tanımladık. İki yarıçemberi birleştirince bir bütün çember
> etmiyor ama haydi hayırlısı.
>
> Yarıküre? Küreyi 1-çember olan daire ile (sınırları dahil olmayan) kesersek
> yarı küre buluruz. Demek ki R^4'teki küreyi 2-küreyle (spheroid; bildiğimiz
> küre) kesersek R^4'teki yarı küreyi buluruz.
>
> Yani xkare+ykare+zkare+hkare=1 ile xkare+ykare+zkare=1'i keseceğiz. hkare=0
> buluruz. n için de benzer mantık yaparız.
>
> Çemberi örtmek için 3 yetti, küre için 4. n için de n+1 olabilir. Ama
> bunlar hep faso fiso. Kanıt lazım kanıt.
>
> Bu animasyon meselesinde asıl sorumuz şuydu: Bu yüzey adayı manifoldumuz
> üzerindeki her p noktasının epsilon komşuluğu ile M manifoldumuzun
> kesişimini kapsayan N_p. Neyse bir saniye. Defter yanımızda yok ama oradaki
> tanımı satır satır yazmaya çalışalım hatırladığımız kadarıyla. Neyse şimdi
> misafirlikteyiz de...
>
> İşte o komşuluk olayını gösteren işte hani mesela yüzey olarak yanağı
> lalım. İnsan yanağı. Ve yanaktaki bir noktanın komşuluğu da sivilce olsun.
> Sivilcenin birazı içerde birazı dişerde. Bu gibi şeyler işte. Anlayan çok
> iyí anladı.
>
> Teşekkür.
>
>
>
>
>
> 22.02.2009 tarihinde tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com> yazmış:
>>
>>   animasyon: http://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY
>> o kadar güzel ki bir bucuk milyon kisi izlemis.
>>
>> burada stereografik projeksiyon var. kutup noktasi eksik kaldigi icin iki
>> tane gerekiyor bundan.
>>
>> youtube'da baska projeksiyonlar da var.
>> 6 tane istedigine göre yarim küre projeksiyonu ariyorsun, o da var
>> youtube'da.
>>
>> --
>>
>> Baska bir soru:
>> Bu ekvator dahil olmayan yarim kürelerden en az kac tanesiyle küreyi
>> kapatiriz.
>> 6'dan az. (Bence 4 yeter)
>> Cemberde düsünürsek 3 tane yarim cember (uc noktalari dahil degil)
>> yetiyor.
>>
>> Genel olarak n boyutlu küre icin bu soruyu genellestirebilir miyiz? n
>> boyutlu yarim kürenin tarifini nasil yapariz? Ve en az kac n-boyutlu
>> (kenarsiz) yarim-küreyle n-boyutlu küreyi kapatabiliriz? Bunu hoca bize
>> derste sordu, kimse bilemedi.
>>
>>
>>
>>
>>
>> --- On *Sun, 2/22/09, Ali ilik <aliilik at gmail.com>* wrote:
>>
>> From: Ali ilik <aliilik at gmail.com>
>> Subject: [MD-sorular] Kure yuzeydir: simülasyon?
>> To: "md" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
>> Date: Sunday, February 22, 2009, 5:59 AM
>>
>>  Kürenin yüzey olduğunu açıklamak için hazır simülasyon ya da böyle bir
>> simülasyon için program önerisi olan var mı? 6 tane yamayı tek tek gösteren
>> bir program.
>>
>> _______________________________________________
>>
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>>
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090222/bae4507c/attachment.htm 