[MD-sorular] Yılbaşı Sorusu

[E. Mehmet Kıral]

Bu çok çok zor bir problem, olsa gerek.

Prensip olarak hem çarpanlarla ve hem de ardışıklıkla (toplamayla) ilgili
problemler çok zor oluyorlar. Zaten problemin bir benzerinin ikiz asal
problemi olduğuna dikkatinizi çekerim. k = 2 ve m = 1 alıyorsunuz. Tabii
ardışık iki sayı birden asal olamayacağından mecburen ardışık iki sayı asal
olamayacağından ortadakini atıyoruz.

Siz istediğiniz özelliği sağlayan bir sayının "bulunmasını" istemişsiniz.
Tahminimce bu çok zor bir sorudur. Onun yerine böyle bir sayının varlığını
kanıtlamak daha ulaşılabilirdir. Bu varlığı kanıtlamanın yolu da, bu tip
sayıların yoğunluğunun sıfırdan büyük olduğunu kanıtlamaktan geçiyor (vur
dediniz, öldürdük).

Soru aslında (büyük) omega fonksiyonunun sabitlendiği bir aralık arıyor.
http://mathworld.wolfram.com/PrimeFactor.html
Oradan da görülebileceği üzere
Büyük omega fonksiyonu loglog n mertebesinde büyüyor ve büyürken de varyansı
yine loglog n.

Bize çözümün imkansızlığını değil de çözüm noktalarının nerelerde olmasının
daha olası olduğunu söylüyor bu oran. Aynı zamanda istediğiniz problemi
çözen noktaların sayısına asimptotik bir üstsınır da getiriyor.
Tabii bizim asıl istediğimiz üstsınır değil, altsınır. Altsınırın sonsuza
gittiğini gösterelim ki en azından bir tane çözüm olduğunu gösterebilelim.

İkiz asalların yoğunluğuyla ilgili olarak da elimizde olanlar üstsınırlar,
altsınır değil.

İstediğiniz türde sayıların olduğunu kanıtlamak muhtemelen çok çok çok çok
zor bir soru (diğer zor sorulara olan benzerliğinden çıkarıyorum bunu) ancak
yine muhtemelen böyle sayılar varlar. Çünkü;
Eğer, asal sayılarla ilgili bir gerçek basit denkliklerden dolayı imkansız
değilse, gerçekleşiyor. Hem de sonsuz kere.
Bu matematiksel bir ifade değil tabii ki, şimdiye kadar gözlemlenenden
yapılan bir çıkarım.

2009/1/1 dede <dede_47 at mynet.com>

>  Merhaba;
>
> Geçen akşam "eski matematik defterlerimi" karıştırırken;
>
> "Zor sorular" dosyasında  "çözemedim" notlu bir soruya tekrar takıldım.
>
> Nerden bu soruyu almışım, bilemiyorum. İhmal işte yazmamışım.
>
> Soru şöyle: "Öyle bir n tamsayısı bulunuz ki:
>
>  n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6 tamsayılarının her birinde,
>
> Tam 3 adet asal çarpan olsun!"
>
> (Asal çarpanlar, birbirini aynı veya farklı olabilir)!
>
> Tekrar uğraştım, yine çözemedim!
>
> Canım sıkıldı,"köleme"  soruyu programladım!
>
> "Kölem", 5 dakika "çalıştı"; ekranda bir sayı: "n=211673";
>
> Bu sayı sorunun verilerini karşılıyordu;
>
> Ama "kölem" çözmüştü, ben değil!
>
> Belki daha başka sayılarda vardı, koşulları sağlayacak!
>
> Bilmiyorum:Zira "kölemi" durdurdum! Daha sonra şeytan dürttü:
>
> Bu soruyu genellesek dedim; yani:
>
> "Öyle bir n tamsayı bununuz ki; kendisi de dahil, sıralı olarak gelecek;
>
> k adet tamsayının her birinde  tam m adat asal çarpan bulunsun!
>
> (Asal çarpanlar birbirinden farkı veya eşit olabilir.
>
> Yukarda ki özel halde n=211673, k=7, m=3)
>
> Genellediğim bu soruyu değil çözmek,yanına dahi yaklaşamadım!
>
> Madem çözemedim, paylaşayım dedim:
>
> "Sayılar kuramını" iyi bilen birisi…belki… genelini değil ama özelini…
>
> "Kölesiyle" değil, çözümün açıkça  görüldüğü; "biyolojik" olarak,
>
> Çözebilecek bir "dost" çıkar! "Onun" şimdiden, "aklına/eline sağlık" der…
>
> Cümle "dostların" yeni yılını kutlar….ve,
>
> Herkese mutluluklar dilerim.
>
>
>
> A.Kadir DeÄŸirmencioÄŸlu
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>



-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090101/19d70a85/attachment.htm