[MD-sorular] denklem full cozum ekte

[Ege Azuz]

Standard bir soru. Ancak ince bir nokta var. Sondan bir önceki paragrafın
son cümlesinde belirttim bu ince noktayı.

Full açıklamalı çözümü veriyorum:

*Denklem 2. mertebeden, lineer, sabit katsayılı ve homojen olmayan bir
diferansiyel denklem.* Böyle denklemler için yutan operatör, ters operatör
veya belirsiz katsayılar (indetermined coefficients) metodlarından birini
kullanılabilir.

Veya yutan operatörden direkt formül de çıkarılabilir ama ona girmeden yutan
operatörle anlatayım, formüller harbi formül ve karışık gibi. Aslında akılda
tutması çok kolay. Operatörlerle ilgili özelliklerden çok rahat kanıtlanır.

e^x'in yutanı (D-1) ve e^2x'in yutan operatörü (D-2), o halde e^x+e^2x'in
yutanı (D-1)(D-2). Her iki yanı bununla çarpalım. Bu arada ana denklemin
operatör formatında yazımını da not edelim: (D^2-6D+8)y=e^x+e^2x.
Demek ki (D-1)(D-2)(D^2-6D+8)=0. Bunun genel çözümü (karakteristik polinomum
köklerinden çıkar hemen) y=C_1e^x+c_2e^2x+C_3xe^2x+c_4e^4x

Homojen olmayan denklemin genel çözümü hom. olanın gen. çöz. ile hom.
olmayanın bir özel çözümünün toplamı olduğundan (aslında çözümler kümesi bir
vektör uzayıdır) y_p=C_1e^x+C_3xe^2x şeklindedir sorunun özel çözümü.
Türevler alınıp katsayılar yerine konursa katsayılar bulunur.
y_p=(1/3)e^x-(1/2)xe^2x. p, particular solutiondan gelir. *Burada şu hataya
düşmemek lazım: y_p=C_1e^x+C_2e^2x alamayız, çünkü (D^2-6D+8)'e karşılık
kelen karakteristik polinomum kökleri katlı değil! Ezbere çözenler tongaya
düşer burada.*

Dede yanıt vermiş, nasıl çözüleceğini söylememiş. Soruda da nasıl
çözülebileceği sorulmuştu... Dede'nin denkleminden yanıtı bir programla
bulduğu açık gibi.

Ege



12 07 2009 tarihinde Merve Offar <merve18math at hotmail.com> yazmış:
>
> merhaba.. bir sorum olacaktı y''-6y'+8y=eüzerix+eüzeri2x denkleminin
> birözel çözümünü nasıl bulabilirim
>
> teşekkür ederim iyignler...
> mervve
>
> ------------------------------
> Windows Live(tm) ile e-posta kutunuzdaki işlevlerin çok ötesine geçin. Diğer
> Windows Live(tm) özelliklerine göz atın.<http://www.microsoft.com/turkiye/windows/windowslive/>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090712/9a18706a/attachment.htm