[MD-sorular] secim beliti ve yiannis moschovakis ile yazışma

Ali Nesin nesin at bilgi.edu.tr
17 Tem 2009 Cum 11:55:22 EEST


Ovguler icin tesekkurler. Haketmeye calisacagiz.

Siz anlamissinizdir dergiyi okuyunca ama baskalarina da soyleyeyim: Bazen
secim belitine ihtiyac olmadan da secim yapilabilir. Ornegin dogal sayilarin
bos olmayan altkumelerinden en kucuk elemani secebiliriz. Ama R'nin bos
olmayan altkumelerinden birer eleman secmek icin mutlaka secim beliti
gerekiyor.

Secim belitinin mutlaka gerektigini kanitlamak hic kolay degildir. Kaniti
ben bilmiyorum.

Su paragrafini yorumlayayim:

 

"Sf. 17'de X sonluysa her elemanından bir eleman alın diyor. Sayfa 19'da X
sonsuzsa da (Sayılabilir ama olsun sonsuz ya...), Xin her elemanından bir
eleman alın olsun bitsin, demeye getiriyor. Bunu şöyle demiş: X_0'dan x_0
alırız. ... X'nden x'n alırız. O zaman şöyle düşündüm. E bu her X'n den x'n
almaktır. Yani X sonsuzsa da seçebiliyoruz. Halbuki işte x sonsuzsa
seçtiklerimiz küme olmuyor. Yani ZF aksiyomlarıyla küme olduğu
kanıtlanamıyor. Eğer X sonsuzken X'ten seçtiklerimizin küme oldugunu
kanıtlamak istiyorsak o zaman seçim belitine gerek var. Olmadan hayatta
olmaz. Yani ZFC ile kanıtlanır... Nasıl kanıtlayacağız, hangi aksiyomla??
Ama seçim beliti olmadan kanıtlayamayacağımızı nasıl kanıtlarız. Bu gibi
sorular düşündüm ama erteledim. Bilen varsa beri gelsin."

 

Herhangi bir secimi sozlu ya da yazili betimleyebiliyorsan, o zaman Secim
Beliti'ne filan gerek kalmadan bu secimlerin bir kume olusturdugunu
kanitlayabilirsin. Eger betimleyemiyorsan, o zaman sordugun soru anlamsiz
oluyor cunku secimin ne oldugunu bilmedigin icin neyin (yan hangi
toplulugun) kume oldugunu kanitlaman gerektigini de bilmiyorsun.

 

Zaten secim belitiyle varligini gosterdigin bir secim fonksiyonunu
betimleyebiliyorsan, o zaman secim belitini gereksiz yere kullanmissin
demektir. Secim beliti zaruri olarak kullanildiginda elde edilen nesne
betimlenemez.

 

A.

 

 

  _____  

From: Rahmi Ucbil [mailto:honolululurahmi at gmail.com] 
Sent: Friday, July 17, 2009 11:20 AM
To: Ali Nesin; aberkman at metu.edu.tr; ailksen at gmail.com; anilgezer at gmail.com
Cc: md at math.bilgi.edu.tr; md md
Subject: Re: secim beliti ve yiannis moschovakis ile yazışma

 

Herkese günaydın.

 

Çok uzun bir yazı ama içinde çok yorum ve soru var. Sabredip okuyanların
yanıtlarını merak ederim. Hızlı okuyan 5 dakkada okur!

 

Aslında bu sitenin amacına da uygun olur: Burada boş tartışacagımıza MD
okusak ve kapakları tartışsak. Bakın ben biraz okudum ve sanırım buraya bir
kapakla ilgili en uzun maili yolluyorum su an. Hiç de fena bir şey olmasa
gerek!

 

Anladım. Çok iyi oldu. Çok teşekkürler. Aslında sizin ve Kerem Altun'un
yazdıklarını (ve daha fazlasını) dün gece ve bu sabah anlamıştım.

Dün hatalı yazdım. Sorun sayılamazlıkla değil sonsuzluka alakalı. Tümevarıma
da pekala gerek var sonlu kümenin seçim fonksiyonu olduğunu göstermek için.
Çünkü X'in eleman sayısı üzerinden göstermemiz lazım. 'X'in her elemanından
bir eleman alırım'ın matematikçesi zaten tümevarım... Burayı hallettim.
Aslında 'Tümevarıma gerek yok bariz' demem tümevarımı hissettiğimi de
gösterir sanırım...

 

Olay bir de seçmek ve seçim fonksiyonu farklılığından kaynaklanıyor. İkisi
arasında çok ince bir ayrım var. Aslında matematikte, dergiden anladığım
kadarıyla, seçme lafını hakkıyla verebilmek için seçim fonksiyonuyla yapılan
bir seçmeden bahsetmek gerekir. Yani seçtiğimiz elemanlar küme
oluşturmıyorsa o seçmeye seçme denmez. Zira seçtiğimiz elemanlar küme
oluşturmuyorsa seçme fonksiyonu tanımındaki fonksiyon olamaz o seçme işlemi.
Çünkü değer kümesi küme olacak, fonksiyon tanımı gereği (Domain, X, zaten
küme (varsayım gereği)).

 

Bu ayrımı anlamadan önce sf. 9'un 2. sütunu ile sf. 17.'nin ikinci sütunu
çelişir diye düşünüp dehşete kapıldım. Ancak sonra bu sütünların
çelişmediğini görüp, seçim belitinin neyi anlattığını anladım ve belitin
güzelliğinden ve gerekliliğinin farkedilişine, ve farkedenlere ve seçim
belitini bu kadar olağanüstü yazılarla bizlere sunanlara hayranlığımdan
dehşete kapıldım. Dehşetin hedefi ya da kaynağı değişti yani. Sayın
Berkman'a da yolluyorum bunu. Sayın Berkman lütfen bu yazılarda emekleri
geçenlere de (öğrencilerinize de) bu maili iletiniz. Belki biraz sevinirler
emeklerinin boşa gitmediklerini görünce ve onlar için de ufacık bir moral
olur ve belki bu moralla şahane teoremler kanıtlarlar! :) 

 

Açıklayayım. Sf. 17'de X sonluysa her elemanından bir eleman alın diyor.
Sayfa 19'da X sonsuzsa da (Sayılabilir ama olsun sonsuz ya...), Xin her
elemanından bir eleman alın olsun bitsin, demeye getiriyor. Bunu şöyle
demiş: X_0'dan x_0 alırız. ... X'nden x'n alırız. O zaman şöyle düşündüm. E
bu her X'n den x'n almaktır. Yani X sonsuzsa da seçebiliyoruz. Halbuki işte
x sonsuzsa seçtiklerimiz küme olmuyor. Yani ZF aksiyomlarıyla küme olduğu
kanıtlanamıyor. Eğer X sonsuzken X'ten seçtiklerimizin küme oldugunu
kanıtlamak istiyorsak o zaman seçim belitine gerek var. Olmadan hayatta
olmaz. Yani ZFC ile kanıtlanır... Nasıl kanıtlayacağız, hangi aksiyomla??
Ama seçim beliti olmadan kanıtlayamayacağımızı nasıl kanıtlarız. Bu gibi
sorular düşündüm ama erteledim. Bilen varsa beri gelsin.

 

ZFC yazısını okudum su gibi ve çok anlaşılır. Bence ilk yazıdaki ufak
eksiklik dediğim şey seçim beliti neden doğaldır yazısında giderilmiş. Bu
yazı ikna etmezse hiç bir şey ikna etmez, denince korkudan altıma
yapacaktım. Çünkü yazıyı anlamazsam aptallığım belgelenecekti (Dergi
doğruysa) ve neyse ki anladım tamamını.

 

O anda şöyle bir şey geçti içimden. Ali Nesin ne kadar büyük bir yazarmış.
Matematikçiliğinin haricinde olağanüstü bir eğitmen ve yazar. Belki de o ilk
sayfadaki ifadeyi kasıtılı olarak okuru düşündürmeye zorlamak için biraz
muğlak bırakmış (Muğlak bırakmamış da ilk okuyunca muğlak gözüküyor). Şok
şikayet alması iyi anlatamadığını göstermez...

 

Kaldı ki diğer yazıları da okudum ve kapağı bitirdim (Zorn lemma ve
Tarski'yi tırıs geçtim, fazla ağır geldi) Bu kadar güzel anlatılamazdı.

Sonra düşündüm ki Türkiye'de bu konu neden çok az biliniyor? Şu kanıya
vardım yurtdışına kümeler kuramı ve cebirde doktoraya gidip gelmiş çok az
matematikçimiz var(dı). Soyut matematik dersleri verenler bu kuramı pek
bilmiyorlar.... Yani hocalar bilmiyor ki öğrenciler nasıl bilsin...

 

Bu kapak, içindeki olağanüstü topoloji yazısıyla ve diğer yazılarla MD'nin
ordinallerle beraber ülkeye en fazla katkı sağlayan iki kapağı olabilir. Bu
işleri para sevdası olmadan, sevdiği için, gençler için yapan bu uğurda bir
ömür harcayan Ali Nesin'e ve ekibine ne kadar teşekkür etsek azdır, bunu
farkettim.

 

Ama iyi sıralama yazısını hızlı okuma yaptım. Harika bir yazı. Oradan
maksimal zincirlere falan ısındım. 4-5 kere daha okuyunca iyice pekişecek.
Ama sonra okurum biraz aman geçsin. Sinsin. Açıkçası yazılar çok ağır
olduğundan önce yatakta okudum! Dün zaten yazıların ağırlığından 11'de
uyumuşum... Sabah 7'ye çeyrek kala uyanmışım. Kahvaltı yapmadan okudum uyku
sersemi halimle. Demek ki kağıt-kalemle masada okusam benzer bir kapak
yazabilecek konuma gelirim! :P

 

Haydar Bey'in ve Ali Nesin'inn bugün vurguladıları kesişimlerin tek elemanlı
olması benim de dikkatimi çekti. O da anahtar nokta, onu da farkettim.
Aklıma bunun eşdeğerleri geldi. Kendi kendime dedim ki 'Bu konuyu çok iyi
öğrenirsem değişik eşdeğerler bulabilirim.! Ama çok da fazla üzerinde durmak
istemiyorum çünkü bu kapağı okuma amacım ogrenmenin yanında (belki
ogrenmekten cok ) anlayıp anlayamayacagımı sınamak içindi!!

 

Aralarda geçen küme oldugunu kanıtlama işleri ilgimi çekti. Bu arada
kategori teorisinde seçim belitine benzer şeyler var mı? Yani herhangi bir
kategoriden elemanlar seçerek oluşturduğumuz topluluk kategormidir vs. Tabii
konuya çalışmadan bunu sormam etik olmayabilir. Bu konu daha öncelden MD'de
bol bol işlendi ama o yazıları tekrar okumam gerektiğini anladım. Yani bir
şeyin küme oldugunu nasıl kanıtlarız? kısımlarını, e ve diğerlerini yani.
Temellendirme ve yerleştirme belitlerinin isimleri fantastik geldi. Onlara
ayrı bir sempati duydum. Sonra şu soru geldi aklıma: acaba ZFC ile herşeyin
küme oldugunu kanıtlayabileceğimizi nasıl kanıtlarız? Yani ne malum 10
aksiyomun yettiği? Sonra dedim ki zaten kümeler kuramı bu şekilde
kuruluyor... Yani biz bu 10 aksiyomla kurulabilen şeylere küme diyoruz sen
de kalkmış bu 10 aksiyıom kümeliği kanıtlamaya yeter mi diyorsun, dedim.
Biraz halloldu kafamdaki soru.

 

MD'de editörün en iyi yaptığı şey olmayan seylerı bulmaya calısmak, once
konuya tersten gırmek. Bence bu muthıs bir eğıtım sıstemı bazen. Örneğin,
maksimal bilmemne bulmaya calsımıs bır yerde. Olmadıgını bıle bıle bulmaya
calsımak. Bence bunun tersını yapmak yanı hep olumluları hep teoremlerı
dusunmek anlatıldı bıze ve bu da gelısımımızı cok yavaslattı. Hocama
soruyorum manıfold olmayan bır ornek nedır dıye bilmiyorum diyor bize
manıfoldu anlatan bir prof. dusunun. Yanı sonra bir ara M. Artın'ın
algebrasında buldum manifold olamayan bir şekil.8 yazısının altından azcık
kesin, işte o şekil. Yaklasınca bogum yerinde dogru gıbı olmuyor, ıste bu
kadar basıt. Matematik boyle anlatılır szegıyle... Ters orneklerle...MD de
bunu yapıyor. Elbette dif. geo derslerindeki gibi bariz olmayan non-manifold
örnekleri önemlidir ama ilk etapta sezdirilmeli. Ya da ilk etapta çok ağır
teorik girilip sonra öğrenci mi sezse bu eğitim felsefesine girer. İyi hoca
bunun dengesini kurabilendir. Hocalığın sırrı burada!!

 

Aslında seçim demiş bir yerde ve koyu yazmıs. Yahu seçme fonksiyonu yok ama
seçip diyor bu bir pedagojik hata değildir bu bir edebiyat tarzıdır bunu
anladım zira yazar bu konuyu cok ıyı kavramıs ve derslerını veren biri...

 

Bu madde ufak ama dergının amacını astıgı ıcın gırmeyen zok zor teoremlerden
bahsedılmıs bunlardan bir iki tanesını bilen biri kanıtyabilir mi burada ya
da kaynak vere bilir mi kitap veya link örnegın. Çok mu sey istedim?

 

- ZF celiskisızse ZFC celiskızıdır.

- C'nin kabul edilmediği sitemler ve bu sıstemlerden teorem aksiyomlar vs
vs.. Neler olup bitior oralarda...

 

NBG'nin önemi nedir nasıl bir şey? Bir iki cümleyle anlatabilir misiniz?

 

Yiannis moschovakis'le editörün yazışmasını merak ediyorum. Daha doğrusu
ozelını merak etmem kimseyi de ılgılendırmez ama o yazışmadakı matematıgı
merak edıyorum. Yani L(R) nası bişey? Her kümenin tam sıralanabileceğini
varsayarsak ZF'de her kumenın ıyı sıralanabılecegını kanıtlayamazmışız.
Bunun kanıtı yanı.... Nasılır allah bılır!

 

Son soru sayın Nesin'e: Kaplanski'nin hangi kitabından etkilendiniz,
ozellikle tavsıye edeceğiniz kitabı var mıdır? Bir kıtabını secsenız
hangısını secerdiniz?

 

Seçim beliti harikaymış.

 

MD de ne dehşet bir dergiymiş... Olumlu anlamda...

Tekrar teşekkürler.

 

Honolulu'lu Rahmi Uçbil.

16 Temmuz 2009 22:17 tarihinde Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr> yazdı:

 

Rahmi Ucbir hakli. Orasini pek iyi anlatamamisim. Cok sikayetler aldim bu
konuda.

 

Anlatmaya calisayim:

 

Bos olmayan bir kumeden elbette bir eleman secilebilir. Eger bu eleman x
ise, kumeler kuraminin basit bir aksiyoma gore {x} diye bir kume vardir.

 

Eger n tane bos olmayan ve ikiser ikiser kesismeyen (yani ayrik) kume varsa
(n bir dogal sayi burada), her birinden birer eleman secelim. Bu elemanlara
sirasiyla x_1, x_2, ., x_n diyelim. Kumeler kuraminin basit bir aksiyomundan
ve n uzerine tumevarimla, {x_1, x_2, ., x_n} diye bir kumenin varligi
kolaylikla kanitlanabilir.

 

Buraya kadar bir sorun olmamasi lazim. (Hangi elemanin secildigi onemli
degil.)

 

Eger sonsuz tane bos olmayan ve kesismeyen kume varsa, gene her birinden bir
eleman secebiliriz. Eger A bu bos olmayan kumelerden biriyse, secilen
elemana x(A) diyelim. Sorun su: Kumeler kuraminin basit aksiyomlariyla
sadece x(A) elemanlarini iceren bir KUMEnin varligi kanitlanamaz.

 

Secim aksiyomu iste bu sorunu giderir. Secim aksiyomu sunu der: Eger X bir
kumeyse ve X'in elemanlari bos olmayan kumelerse, o zaman oyle Y kumesi
vardir ki, X'in her A kumesi icin, A kesisim Y'nin tek bir elemani vardir.
Buradaki Y kumesi, X'in her A kumesinden bir eleman secilerek
olusturulmustur.

 

Kimi su soruyu sorabilir: Madem ki X'in elemanlari bos olmayan kumeler, X'in
her bir A elemanindan bir x(A) elemani seceyim ve Y = {x(A) : A, X'in
elemani} kumesine bakayim. Al sana Y! Secim Aksiyomu'na filan gerek yok!
Evet, Y diye bir nesne tanimladiniz ama bu Y'nin bir kume oldugunu Secim
Aksiyomu'nu kullanmadan kanitlayamazsiniz.

 

Umarim aciklayici olabilmisimdir.

 

A.

 

 

 

  _____  

From: Rahmi Ucbil [mailto:honolululurahmi at gmail.com] 
Sent: Thursday, July 16, 2009 7:57 PM
To: tayfun at ehb.itu.edu.tr; safak at metu.edu.tr; ozlem at math.uic.edu;
ahmetdogan51 at hotmail.com; luzumi at gmail.com; Ali Nesin; oralh at boun.edu.tr;
semihporoy at yahoo.com; yagcimustafa at yahoo.com; md at math.bilgi.edu.tr
Subject: secim beliti matematik dunyası dergsi hakkında

 

Değerli arkadaşlar 06-II sf. 17: X, elemanları boş olmayan kümeler olan
sonlu bir küme ise, X'in bir seçim fonksiyonunu bulmak çok basittir: X'in
her elemanından bir eleman alın, olsun bitsin!

Yukarıdaki cümleyi anlayamadım.

1- Sonluluğun buradaki faydası nedir? Soruyu olumlu yanıtlattıran sonluluğun
sağladığı hangi özelliktir?
2- "bir eleman alın, olsun bitsin!" Hangi elemanı alacağım?? Nasıl
alacağım??
3- Aynı şeyi sonsuz küme için niye yapamayalım? X, elemanları boş olmayan
kümeler olan sonsuz bir küme ise, X'in bir seçim fonksiyonunu bulmak çok
basittir: X'in her elemanından bir eleman alırız, olur biter!

seçim beliti çok zorlandıgım bir konuydu hatta hıc bılmem dıyebılırım nasıl
olsa dergıde var dıye guvendım elıme bır aldım butun ıstahım kesıldı:(((((
Editör burasını iyi anlattığına inanıyor mu? yoksa ben de yanılıyor
olabilirim belki ilerideki yazıları okusam aydınlanır ama burada cok
takıldım 3-4 kere okumama ragmen hala orayı cozemedım. Yayın kurulundaki
insanlar hiç müdahale etmiyor mu editörün bazı yerlerdeki açıklamalarına.
Sayın Nesin çok iyi bir eğitimci ancak o da hata yapabilir. Şurasını şöyle
anlatsak pedagojik açıdan daha iyi olur diye yorum yapıyor mu yayın
kurulundaki değerli matematikçiler, yoksa editörün onlara yolladıklarını
sadece imla ve matematik açısından mı kontrol ediyor? Sayın Ali Nesin'in
ağır matematikten taviz vermemesi bazen sıkıntıya yol açabiliyor. Bence buna
biraz ses çıkarmalıyız. Öte yandan Bir MD okuru olarak derginin yükünün
neredeyse tamamının editörün sırtlarında olduğunu düşünüyorum. Yayın kuluru
ve bizler daha çok sorumluluk almalıyız. Editöre de yardımcı olmalıyız.
Yoksa her zaman sayın Ali Nesin gibi çalışan bir matematikçi bulmayız.
özellikle derginin nasıl işlediğine dair yanıt da bekliyorum es gecmeyın
lutfen dergi şeffaf olmalı... bız yabancı degılız okuruz....

Editör zorlandıysa ogrencılık yıllarında ve o zaman MD yoksa ve ben bu
yazıyı okuyunca bile zorlanıyorsam editor kimbilir ne kadar zorlanmıstır
hayal edemiyorum. Bu yorumumu yayın kuruluna ve sekreterlıge yolluyorum ki
sekreterlik de daha çok çalışsın! gerçi sekreterliğin çalışmalarından çok
memnunuz:))

Saygılarımla
Honolulu'lu Rahmi

 

 

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090717/8a71ef68/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi