[MD-sorular] degistirip degistirmemek - bilinen bir olasilik dagilimiyla

[Gorkem Ozkaya]

Wikipedia'da, daha once tartistigimiz degistirip degistirmemek
probleminin bir baska versiyonu ilgimi cekti, paylasmak istedim.  Bu
versiyonda zarfa konan paranin olasilik dagilimi belli oldugu halde
paradoks korunuyor.

Adam birinci zarfa koyacagi parayi {2^n |  n = 0,1,2,... } kumesinden
p(2^n) = 2^n/3^(n+1) olasilik dagilimina gore seciyor.   Ikinci zarfa,
ilk zarftakinin iki katini koyuyor.  Zaflardan birini rastgele
seciyoruz ve aciyoruz.

Eger actigimiz zarftaki miktar 1'se kesinlikle oteki zarfta 2 olgunu
biliyoruz.  Degistirmeliyiz.

Eger actigimiz zaftaki miktar  1'den buyuk bir x ise,
3/5 olasilikla oteki zarfta x/2
2/5 olasilikla oteki zarfta 2x vardir.  Bu hesap kosullu olasilik
tanimiyla kolayca dogrulanabilir.
Degistirirsek, kosullu beklentimiz
(3/5)(x/2) + (2/5)(2x) = 11x /10
oluyor. Yine degistirmeliyiz.

Zarfta ne gorursek gorelim, degistirmek kosullu beklentimizi yukseltiyor.

http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem