[MD-sorular] Ynt: Re: Euler Gama

Cem Kocagil cem.kocagil at gmail.com
11 Mayıs 2009 Pzt 20:29:03 EEST


Euler's reflection formula, sizin de ilk mailde yazdığınız formül:
Gamma(z).Gamma(1-z) = pi/sin(pi.z)
Burada z=1/2 dersek, Gamma(1/2)^2 = pi buluruz. Dolayısıyla Gamma(1/2) =
kök(pi) olur. (pozitif olduğunu söylememe gerek var mı?)

Başka bir yol da doğrudan integral tanımından yola çıkarak bulmak. Gamma(z)
= sıfırdan sonsuza kadar integral t^(z-1).e^(-t) dt. Yani Gamma(1/2) =
sıfırdan sonsuza kadar integral t^(-1/2).e^(-1) dt'yi hesaplayarak
yapabiliriz. Biraz daha zahmetlidir tabi. kök(t)=x dönüşümünü yaparsak
integral şu hale gelir: sıfırdan sonsuza kadar integral 2.e^(-x^2) dx. Bu da
meşhur Gaussian integralidir. İsterseniz bu integralin hesabını
açıklayabilirim.

Şimdi, sorun şurada, pozitif tamsayılar ve sıfır haricindeki sayıların
faktöriyelleri tanımlı mıdır? İstersek tanımlıdır, istemezsek değildir.
Tanımlamak istiyorsak Gamma(z+1)=(z)! şeklinde tanımlayabiliriz ki bu tanım
sayesinde kompleks sayıların bile faktöriyelini alabiliriz.

z=-1/2 verirsek Gamma(1/2)=(-1/2)! olur. Bunun da kök(pi) olduğunu
bulmuştuk.

2009/5/11 dede <dede_47 at mynet.com>

> Sayın Cem Kocagil;
> Gamma(1/2)^2=pi 'den  Gamma(1/2)=Kök(pi)=(-1/2)! ye
> nasıl geçtiniz anlayamadım.(Olsa olsa Gamma(1/2)=(artı/eksi)Kök (pi) çıkar
>
> yazdığınızdan).Ayrıca Euler yansıma formülünü açıkça yazabilirmisiniz?(Bu
> konuyu
> bayağı bilmeme rağmen,bu ismi ilk defa sizden duydum)
> Not:İlk iletide bir hatam olmuş;doğrusu Gamma(n+1)=n! olacak.Ayrıca
> (-m/2)! nin hesaplanmasında (m) teksayı olmalıdır,çift sayı olamaz.
> Saygılarımla...
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
>
> ----- Özgün İleti -----
> Kimden : "Cem Kocagil"
> Kime : "dede"
> Cc : md-sorular at matematikdunyasi.org
> Gönderme tarihi : 11/05/2009 18:16
> Konu : Re: [MD-sorular] Euler Gama
> (-1/2)! = Gamma(1/2)
>
> n'e 1/2 vermeniz gerekiyor yani. Euler yansıma formülünden Gamma(1/2)^2 =
> pi; buradan da Gamma(1/2) = kök(pi) = (-1/2)! diyebiliriz.
>
> 2009/5/11 dede <dede_47 at mynet.com>
>
>
>>
>> Değerli liste üyeleri;
>>
>> Eksi işaretli tam ve oranlı (rasyonel) sayıların faktöryellerinin
>> "tanımlı" olmadıkları
>>
>> bilinir.Euler Gama fonksiyonu pozitif oranlı ve tamsayılar için
>> tanımlanmasına karşın
>>
>> bu foksiyonun anlatıldığı birçok kitapta (-1/2)!=Karekök(pi) eşitliği
>> verilmektedir.
>>
>> (m tamsayı ise (-m/2)! de burdan hareketle hesaplanmaktadır.)
>>
>> Siyahladığım bu eşitlik nasıl kanıtlanmaktadır?Kanıt yapılırken; pozitif
>> tamsayılar için
>>
>> doğru olan Gamma(n 1)=n! bağıntısı
>> kullanılamaz; zira bu bağıntı negatif tam ve
>>
>> oranlı sayılarda geçerli değildir. Pozitif tam sayılarda geçerlidir.Ayrıca
>>
>>
>> Gamma(n)*Gamma(1-n)=pi/Sin(n*pi);
>> bağıntısıda; 0<n<1 için doğru olduğundan kanıtta buda
>>
>>  kullanılamaz. (Eğer bu eşitlikler kullanılacaksa; herhangi birisin
>> de, n=-1/2 konulunca zaten kanıtlanmak
>>
>> istenen (-1/2)!=Karekök(pi) zaten bulunmaktadır).Bu kayıtlar altında
>>
>> başka bir kanıt bilen birisinin bu eşitliği kanıtlaması ricasıyla...
>>
>> Herkese saygılar...
>>
>> A.Kadir Değirmencioğlu
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> _______________________________________________
>>
>> MD-sorular e-posta listesi
>>
>> sorular at matematikdunyasi.org
>>
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090511/a09cfee0/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi