[MD-sorular] Euler Gamma

dede dede_47 at mynet.com
11 Mayıs 2009 Pzt 21:28:58 EEST


Sayın Kocagil;
Ben o formülü "Gamma Çarpım Formülü" olarak bilirim,
anlaşmazlık bundan doğdu demek!
İlginize teşekkürler, ancak yazdıklarınızı bir "kanıt" kabul edemem,
şöyleki:
Gamma fonksiyonunun tamami (integral) tanımından  
kanıtı istenen bağınti kanıtlanamaz (Tanımdan kanıt çıkarsa; ikiz
asalların tanımıda
onların sonsuz sayıda olduklarını/olmadıklarını kanıtlar mı?)Verdiğiniz
Gaussian  tamamisini;
(Belirsiz tamamisi meşhur çan eğrisidir) polar, kartezyen koordinatlarda
ve parametreye
bağlı tamaminin türevini alarak yapabiliyorum.Verdiğiniz haliyle değeride
Kök(pi) dir
"Şimdi, sorun şurada, pozitif tamsayılar
ve sıfır haricindeki
sayıların faktöriyelleri tanımlı mıdır? İstersek tanımlıdır, istemezsek
değildir.Tanımlamak istiyorsak Gamma(z+1)=(z)! şeklindetanımlayabiliriz ki bu tanım sayesinde kompleks sayıların bile
faktöriyelini alabiliriz" cümlelerinizi
"daha bir dikkat ve düşünceyle" yazmalıydınız sanırım.Zira:
Faktöryeli tanımlamakta kullandığımız "Gaussian Tamami"  negatif
tamsayılar da  tanımsızdır(sonsuzdur);
negatif sayıların faktöryelini nasıl tanımlayacaksınız?.İşte negatif
oranlı bazı sayılarda
"abraka dabra" tanımlanmış bence.Kaldiki negatif sayıların faktöryelini
tanımlamakta
Gamma(n+1)=n! bağıntısı kesinlikle kullanılamaz; zira bu bağıntı (n)
pozitif tamsayı ise doğrudur.
Dolayısıyle onda n=-1/2 konulamaz.(Örneğin Gamma (5/4)=(5/4)! eşitliği
doğru değildir.
Ama Gamma(5)=4!=24 doğrudur) Bunu ilk iletide yazmıştım; sanırım
dikkatinizden kaçmış olacak.
Sonuçta; kanıtınızı kabul etmem olanaksız.Okuduğum Türkçe ve (az sayıda)
İngilizce
kitabda kanıtını istediğim eşitliğin bir kanıtını görmedim, ben
yapamadım.
Bu eşitlik satır aralarında "öylece, a priori" saklanarak
söylenmektedir.Amaç,iç tutarlılık kaygısı sanırım.
(Bakınız:Divergent Series; By G.H.Hardy; Oxford University, 1948, Page
25)
Yinede ilginize teşekkür ederim
Sağlıklı bir yaşam dileklerimle...
A.Kadir değirmencioğlu.

YANITINIZ:
"Euler's reflection formula, sizin de
ilk mailde yazdığınız formül: Gamma(z).Gamma(1-z) = pi/sin(pi.z)Burada
z=1/2 dersek, Gamma(1/2)^2 = pi buluruz. Dolayısıyla Gamma(1/2) =
kök(pi) olur. (pozitif olduğunu söylememe gerek var mı?)
Başka
bir yol da doğrudan integral tanımından yola çıkarak bulmak.
Gamma(z) = sıfırdan sonsuza kadar integral t^(z-1).e^(-t) dt. Yani
Gamma(1/2) = sıfırdan sonsuza kadar integral t^(-1/2).e^(-1) dt'yi
hesaplayarak yapabiliriz. Biraz daha zahmetlidir tabi. kök(t)=x
dönüşümünü yaparsak integral şu hale gelir: sıfırdan sonsuza kadar
integral 2.e^(-x^2) dx. Bu da meşhur Gaussian integralidir. İsterseniz
bu integralin hesabını açıklayabilirim.
Şimdi,
sorun şurada, pozitif tamsayılar ve sıfır haricindeki
sayıların faktöriyelleri tanımlı mıdır? İstersek tanımlıdır, istemezsek
değildir. Tanımlamak istiyorsak Gamma(z+1)=(z)! şeklinde
tanımlayabiliriz ki bu tanım sayesinde kompleks sayıların bile
faktöriyelini alabiliriz.
z=-1/2
verirsek Gamma(1/2)=(-1/2)! olur. Bunun da kök(pi) olduğunu
bulmuştuk".
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090511/3b8a9ec3/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi