[MD-sorular] olasılık sorusu

[tibetefendi at yahoo.com]

Ali Ilik'in sordugu soru bana cok ilginc geldi. Hatta Ali Ilik'in simdiye kadar sordugu en güzel soru diyebilirim buna ben. (Ali ilik bir "pablik figür" oldugu icin bu sekilde satasma hakkimiz doguyor, durumdan kendisi sorumludur.)

Önce soruyu basitlestiriyorum. Bu basit sorulardan hareketle en sonunda trigonometrik fonksiyon sorusuna net bir cevap verebiliyoruz.

Reel sayilarda rasgele bir aralik secildiginde. (Lebesgue ölcüsüne göre arka arkaya iki rastgele nokta seciliyor.) Bu araligin cift sayida tamsayi icerme olasiligi nedir? 
(Bence 1/2 ama nasil modellenebilecegini tam kestiremiyorum).

Bir kere bu aralik ortalama kac tamsayi icerir? Bence ortalama sonsuz tamsayi icerir.
Ama bir aralik secildiginde nihayetinde sonlu tamsayi icerecegini biliyoruz. Garip bir durum var yani. Ihtimallerin hepsi sonlu ama beklenti degeri sonsuz.
Cünkü herhangi bir n sayisi verildiginde, rastgele secilen bir araligin n'den az tamsayi icerme ihtimali 0'dir.

Tamsayi yerine dogal sayi
 desek.
Sececegimiz aralik 1/4 ihtimalle tamamen negatif bölümde yer alacak. Neden? Cünkü ilk sectigimiz kenar 1/2 ihtimalle negatif olacak, ikincisi de ayni sekilde. Ikisinin birden negatif olma ihtimali 1/4. Yani sectigimiz aralik 1/4 ihtimalle hic dogal sayi icermeyecek. Ama 3/4 ihtimalle en az bir dogal sayi icerecek.

Soruyu söyle soralim:
Reel sayilarda rastgele bir aralik secildiginde cift sayida dogal sayi icerme olasiligi nedir?

Bence bu sorunun cevabi 5/8.
Neden böyle düsündüm? Cünkü 1/4 ihtimalle sectigimiz aralik hic dogal sayi icermeyecek. Sifir cift sayi. 
3/4 ihtimalle de en az bir dogal sayi icerecek. Bu son durumda bence 1/2 ihtimalle cift sayida dogal sayi icerir. (sebebini tam aciklayamiyorum)
Bu durumda toplamda 1/4 + (3/4*1/2) = 5/8 ihtimalle cift sayida dogal sayi icerir.


Su soruya cevap arayalim:
Su kümeye bakalim. A={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,...} yani 3'ün katlarini icermiyor.
Pozitif reel sayilarda rastgele bir aralik secildiginde A kümesinden cift sayida eleman icerme ihtimali nedir?
Bu soru bence acaip ilginc. Cevabi da (cok büyük ihtimalle) 2/3.

Cözümüm su sekilde. Araligi secmek icin rastgele iki farkli nokta secmeliyiz. Birincisini sectik diyelim. a noktasi olsun. Sececegimiz ikinci sayinin a'dan büyük olma ihtimali 1. (dikkat: pozitif reellerden seciyoruz).
burada kagit kalemi alip araligin ikinci noktasi olan b'yi nereden secersek cift sayida nereden secersek tek sayida dogal sayiyi iceriyor, oralari farkli renkelere boyayalim. Cift sayi cikan yerler tek sayi cikan yerlerin iki kati uzunlugunda.

Bu sekilde düsünerek Ali Ilik'in sorusuna cevap verebiliriz.
O trigonometrik fonksiyonlarin kesisim noktalari orantisiz sikliklarda. Tipki yukarida verdigim A kümesi gibi. Ayni yöntemle rahatlikla bulunabilir.

Örnek olarak sin, cos ve sec'in oldugu 3'lü fonksiyon sorusuna cevap veriyorum. Bütün fonksiyonlar icin ayni sekilde yapilabilir.

Bu üc fonksiyonun kesistikleri noktalar
B={0, pi/4, pi, 5pi/4, 2pi, 9pi/4,...}
restgele bir noktayi secip sag tarifini inceliyoruz. (neden böyle yapmaya hakkimiz oldugunu yukarida anlattim.)
Kagidi kalemi alip yukaridaki gibi boyadigimizda cevabin 1/4 oldugunu görüyoruz.

Yani sin, cos ve sec' in cizili oldugu bir grafikte, Borel ölcüsüne göre restgele bir aralik secildiginde, o aralikta 1/4 ihtimalle cift sayida kesisim noktasi vardir.

tibet


Benim baska bir sorum var. Onu da buraya ilistireyim, zaten roman gibi oldu bu mail.

matematik bölümünde ikinci senemi bitirecegim neredeyse ve hala exponensiyel fonksiyonun sin ve cos'la olan iliskisini anlayabilmis degilim.

e^(a+bi) = e^a * cos(b)Â  +Â  e^a * sin(b)
Euler bunu nereden cikarmis? Kanitini okudum farkli kitaplardan. Bir insan evladinin o sekilde bu fikre ulasmasinin imkani yok. Cünkü zaten analiz kitaplarinda sin ve cos direkt fonksiyon serisi seklinde tanimlaniyor. Sonra tabi bu esitligi kafadan kanitliyor adam.

Bunun tarihsel gelisimi nasil olmus? Bunu nereden ögrenebilirim. Bunu anlamam gerek.
Yani Euler o fikre nasil ulastigini.

---

Bu arada ali ilik'in 0.9999.. = 1 kaniti dünyanin en tirt kaniti olarak tarih sahnesinde yerini aldi bence.

tibet



--- On Sat, 5/16/09, Ali ilik <aliilik at gmail.com> wrote:

From: Ali ilik <aliilik at gmail.com>
Subject: [MD-sorular] olasılık sorusu
To: "MD" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Saturday, May 16, 2009, 2:47 AM

Kötü bir soru sormak istiyorum.  (Kime göre, neye göre?)
 
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Trigonometric_functions.svg linkinde "bildik" trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin hepsi birden çizilmiş. Keyfi bir açık şeridin -{(x,y), a<=x<=b ve y keyfi}- içinde bu eğrilerin kesişim noktalarının sayısının çift olma olasılığı nedir?

 
Ali

-----Inline Attachment Follows-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular


      
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090516/ede11461/attachment.htm