[MD-sorular] olaslk sorusu

tibet efendi tibetefendi at yahoo.com
17 Mays 2009 Paz 01:05:37 EEST


ben rastgeleyi su sekilde düsündüm.
önce rastgele bir sol nokta seciyorsunuz lebesgue ölcüsüne göre. (bu ne demek? örnegin belli bir sayiyi secmek olasiligi sifir, negatif bir sayi secme olasiligi 1/2, n teksayi ve pozitif olacak sekilde bir n icin (n, n+1) araligina denk gelme ihtimali 1/4, gibi...)
sonra da yine lebesgue ölcüsüne göre sag noktayi rastgele seciyorsunuz.
Benim verdigim cevap bu sekilde rastgele secildigi düsünülerek verilmis bir cevap.

Ama baska sekilde de rastgele secebilirsiniz. örnegin önce rastgele araligin orta noktasini secersiniz. sonra pozitif sayilardan rastgele araligin uzunlugunu secersiniz. (bu durumda isler degisir mi bilmiyorum)

Bu konuda ilginc bir örnek vereyim. Bir cembere rastgele kiris ciziyorsunuz. Kirisin uzunlugunun yaricaptan büyük olma ihtimali nedir?
1) önce cember üzerinde rastgele bir nokta, ardindan rastgele ikinci nokta seciliyor
2) önce dairenin icinden rastgele bir nokta seciliyor (iki boyutlu Lebesgue ölcüsüne göre rastgele) Sonra bu nokta kirisin orta noktasi olacak sekilde kiris ciziliyor. (nokta belirlendikten sonra kiris biriciktir)
3) önce kirisin merkezden uzakligi [0,r) arasinda rastgele seciliyor, sonra merkezi ortanoktayla baglayan dogrunun acisi [0,2pi) arasinda rastgele seciliyor.

Her üc durum da rastgele secim. Ama rastgele secmenin yöntemi farkli.
Her üc durum icin yukaridaki sorunun farkli farkli üc cevabi var.

tibet


--- On Sat, 5/16/09, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> wrote:

From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
Subject: Re: [MD-sorular] olasılık sorusu
To: tibetefendi at yahoo.com
Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Saturday, May 16, 2009, 3:17 PM

Birkac sorum olacak. Reel sayilarda rasgele bir aralik nasil secilir? Daha dogrusu, tum reel sayilar uzerinde Lebesgue olcusune gore rasgele bir nokta nasil secilir? Yani probability density function'i nedir?

Tesekkurler.


Kerem


2009/5/16  <tibetefendi at yahoo.com>


Ali Ilik'in sordugu soru bana cok ilginc geldi. Hatta Ali Ilik'in simdiye kadar sordugu en güzel soru diyebilirim buna ben. (Ali ilik bir "pablik figür" oldugu icin bu sekilde satasma hakkimiz doguyor, durumdan kendisi sorumludur.)


Önce soruyu basitlestiriyorum. Bu basit sorulardan hareketle en sonunda trigonometrik fonksiyon sorusuna net bir cevap verebiliyoruz.

Reel sayilarda rasgele bir aralik secildiginde. (Lebesgue ölcüsüne göre arka arkaya iki rastgele nokta seciliyor.) Bu araligin cift sayida tamsayi icerme olasiligi nedir? 

(Bence 1/2 ama nasil modellenebilecegini tam kestiremiyorum).

Bir kere bu aralik ortalama kac tamsayi icerir? Bence ortalama sonsuz tamsayi icerir.
Ama bir aralik secildiginde nihayetinde sonlu tamsayi icerecegini biliyoruz. Garip bir durum var yani. Ihtimallerin hepsi sonlu
 ama beklenti degeri sonsuz.
Cünkü herhangi bir n sayisi verildiginde, rastgele secilen bir araligin n'den az tamsayi icerme ihtimali 0'dir.

Tamsayi yerine dogal sayi
 desek.
Sececegimiz aralik 1/4 ihtimalle tamamen negatif bölümde yer alacak. Neden? Cünkü ilk sectigimiz kenar 1/2 ihtimalle negatif olacak, ikincisi de ayni sekilde. Ikisinin birden negatif olma ihtimali 1/4. Yani sectigimiz aralik 1/4 ihtimalle hic dogal sayi icermeyecek. Ama 3/4 ihtimalle en az bir dogal sayi icerecek.


Soruyu söyle soralim:
Reel sayilarda rastgele bir aralik secildiginde cift sayida dogal sayi icerme olasiligi nedir?


Bence bu sorunun cevabi 5/8.
Neden böyle düsündüm? Cünkü 1/4 ihtimalle sectigimiz aralik hic dogal sayi icermeyecek. Sifir cift sayi. 
3/4 ihtimalle de en az bir dogal sayi icerecek. Bu son durumda bence 1/2 ihtimalle cift sayida dogal sayi icerir. (sebebini tam aciklayamiyorum)

Bu durumda toplamda 1/4 + (3/4*1/2) = 5/8 ihtimalle cift sayida dogal
 sayi icerir.


Su soruya cevap arayalim:
Su kümeye bakalim. A={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,...} yani 3'ün katlarini icermiyor.

Pozitif reel sayilarda rastgele bir aralik secildiginde A kümesinden cift sayida eleman icerme ihtimali nedir?

Bu soru bence acaip ilginc. Cevabi da (cok büyük ihtimalle) 2/3.

Cözümüm su sekilde. Araligi secmek icin rastgele iki farkli nokta secmeliyiz. Birincisini sectik diyelim. a noktasi olsun. Sececegimiz ikinci sayinin a'dan büyük olma ihtimali 1. (dikkat: pozitif reellerden seciyoruz).

burada kagit kalemi alip araligin ikinci noktasi olan b'yi nereden secersek
 cift sayida nereden secersek tek sayida dogal sayiyi iceriyor, oralari farkli renkelere boyayalim. Cift sayi cikan yerler tek sayi cikan yerlerin iki kati uzunlugunda.

Bu sekilde düsünerek Ali Ilik'in sorusuna cevap verebiliriz.

O trigonometrik fonksiyonlarin kesisim noktalari orantisiz sikliklarda. Tipki yukarida verdigim A kümesi gibi. Ayni yöntemle rahatlikla bulunabilir.

Örnek olarak sin, cos ve sec'in oldugu 3'lü fonksiyon sorusuna cevap veriyorum. Bütün fonksiyonlar icin ayni sekilde yapilabilir.


Bu üc fonksiyonun kesistikleri noktalar
B={0, pi/4, pi, 5pi/4, 2pi, 9pi/4,...}
restgele bir noktayi secip sag tarifini inceliyoruz. (neden böyle yapmaya hakkimiz oldugunu yukarida anlattim.)
Kagidi kalemi alip yukaridaki gibi boyadigimizda cevabin 1/4 oldugunu görüyoruz.


Yani sin, cos ve sec' in cizili oldugu bir grafikte, Borel ölcüsüne göre restgele bir aralik secildiginde, o aralikta 1/4 ihtimalle cift sayida kesisim noktasi vardir.


tibet


Benim baska bir sorum var. Onu da buraya ilistireyim, zaten roman gibi oldu bu mail.

matematik bölümünde ikinci senemi bitirecegim neredeyse ve hala exponensiyel fonksiyonun sin ve cos'la olan iliskisini anlayabilmis degilim.


e^(a+bi) = e^a * cos(b)  +  e^a * sin(b)
Euler bunu nereden cikarmis? Kanitini okudum farkli kitaplardan. Bir insan evladinin o sekilde bu fikre ulasmasinin imkani yok. Cünkü zaten analiz kitaplarinda sin ve cos direkt fonksiyon serisi seklinde tanimlaniyor. Sonra tabi bu esitligi kafadan kanitliyor adam.


Bunun tarihsel gelisimi nasil olmus? Bunu nereden ögrenebilirim. Bunu anlamam gerek.
Yani Euler o fikre
 nasil ulastigini.

---

Bu arada ali ilik'in 0.9999.. = 1 kaniti dünyanin en tirt kaniti olarak tarih sahnesinde yerini aldi bence.

tibet



--- On Sat, 5/16/09, Ali ilik <aliilik at gmail.com> wrote:


From: Ali ilik <aliilik at gmail.com>
Subject: [MD-sorular] olasılık sorusu

To: "MD" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Saturday, May 16, 2009, 2:47 AM

Kötü bir soru sormak istiyorum.  (Kime göre, neye göre?)

 
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Trigonometric_functions.svg linkinde "bildik" trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin hepsi birden çizilmiş. Keyfi bir açık şeridin -{(x,y), a<=x<=b ve y keyfi}- içinde bu eğrilerin kesişim noktalarının sayısının çift olma olasılığı nedir?


 
Ali

-----Inline Attachment Follows-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular



      
_______________________________________________

MD-sorular e-posta listesi

sorular at matematikdunyasi.org

http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular





      
-------------- sonraki blm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090516/952532e6/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi