[MD-sorular] olasılık sorusu

17 Mayıs 2009 Paz 01:17:54 EEST

Dedigim gibi konuya cok hakim degilim. Olcum kurami da cok bilmiyorum, ama
Lebesgue olcusu deyince ben soyle anliyorum: sececegimiz sayinin bir (a,b)
araliginda olmasi olasiligi, a ve b sayilarina degil de b - a farkina bagli
olmali. Yanlis midir bilmiyorum. Bu durumda (-n,n) araligina sinirlayip n'yi
sonsuza goturmekle problem cozulmuyor. Yani, "reel sayilarda Lebesgue
olcusune gore rasgele bir aralik secmek" pek iyi tanimli bir sey degil diye
dusunuyorum, yanlis midir?

Kerem

2009/5/17 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>

>
>
> Once problemi (-n, n) araligina sinirla ve olasiligi oyle hesapla, ardindan
> n'yi sonsuza gotur.
>
> Baska dogal bir yolunu bilmiyorum.
>
>
>
> Tibet'in sozunu ettigi probleme bakis acisi sorununun burada bir etkisi
> oldugunu dusunmuyorum.
>
>
>
> A.
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *Kerem Altun
> *Sent:* Sunday, May 17, 2009 12:18 AM
> *To:* tibetefendi at yahoo.com
> *Cc:* Matematik Dunyasi
> *Subject:* Re: [MD-sorular] olasılık sorusu
>
>
>
> Birkac sorum olacak. Reel sayilarda rasgele bir aralik nasil secilir? Daha
> dogrusu, tum reel sayilar uzerinde Lebesgue olcusune gore rasgele bir nokta
> nasil secilir? Yani probability density function'i nedir?
>
> Tesekkurler.
>
> Kerem
>
>  2009/5/16 <tibetefendi at yahoo.com>
>
> Ali Ilik'in sordugu soru bana cok ilginc geldi. Hatta Ali Ilik'in simdiye
> kadar sordugu en güzel soru diyebilirim buna ben. (Ali ilik bir "pablik
> figür" oldugu icin bu sekilde satasma hakkimiz doguyor, durumdan kendisi
> sorumludur.)
>
> Önce soruyu basitlestiriyorum. Bu basit sorulardan hareketle en sonunda
> trigonometrik fonksiyon sorusuna net bir cevap verebiliyoruz.
>
> Reel sayilarda rasgele bir aralik secildiginde. (Lebesgue ölcüsüne göre
> arka arkaya iki rastgele nokta seciliyor.) Bu araligin cift sayida tamsayi
> icerme olasiligi nedir?
> (Bence 1/2 ama nasil modellenebilecegini tam kestiremiyorum).
>
> Bir kere bu aralik ortalama kac tamsayi icerir? Bence ortalama sonsuz
> tamsayi icerir.
> Ama bir aralik secildiginde nihayetinde sonlu tamsayi icerecegini
> biliyoruz. Garip bir durum var yani. Ihtimallerin hepsi sonlu ama beklenti
> degeri sonsuz.
> Cünkü herhangi bir n sayisi verildiginde, rastgele secilen bir araligin
> n'den az tamsayi icerme ihtimali 0'dir.
>
> Tamsayi yerine dogal sayi desek.
> Sececegimiz aralik 1/4 ihtimalle tamamen negatif bölümde yer alacak. Neden?
> Cünkü ilk sectigimiz kenar 1/2 ihtimalle negatif olacak, ikincisi de ayni
> sekilde. Ikisinin birden negatif olma ihtimali 1/4. Yani sectigimiz aralik
> 1/4 ihtimalle hic dogal sayi icermeyecek. Ama 3/4 ihtimalle en az bir dogal
> sayi icerecek.
>
> *Soruyu söyle soralim:
> Reel sayilarda rastgele bir aralik secildiginde cift sayida dogal sayi
> icerme olasiligi nedir?
> *
> Bence bu sorunun cevabi 5/8.
> Neden böyle düsündüm? Cünkü 1/4 ihtimalle sectigimiz aralik hic dogal sayi
> icermeyecek. Sifir cift sayi.
> 3/4 ihtimalle de en az bir dogal sayi icerecek. Bu son durumda bence 1/2
> ihtimalle cift sayida dogal sayi icerir. (sebebini tam aciklayamiyorum)
> Bu durumda toplamda 1/4 + (3/4*1/2) = 5/8 ihtimalle cift sayida dogal sayi
> icerir.
>
>
> Su soruya cevap arayalim:
> Su kümeye bakalim. A={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,...} yani 3'ün katlarini
> icermiyor.
> *Pozitif reel *sayilarda rastgele bir aralik secildiginde A kümesinden
> cift sayida eleman icerme ihtimali nedir?
> Bu soru bence acaip ilginc. Cevabi da (cok büyük ihtimalle) 2/3.
>
> Cözümüm su sekilde. Araligi secmek icin rastgele iki farkli nokta
> secmeliyiz. Birincisini sectik diyelim. a noktasi olsun. Sececegimiz ikinci
> sayinin a'dan büyük olma ihtimali 1. (dikkat: pozitif reellerden seciyoruz).
> burada kagit kalemi alip araligin ikinci noktasi olan b'yi nereden secersek
> cift sayida nereden secersek tek sayida dogal sayiyi iceriyor, oralari
> farkli renkelere boyayalim. Cift sayi cikan yerler tek sayi cikan yerlerin
> iki kati uzunlugunda.
>
> Bu sekilde düsünerek Ali Ilik'in sorusuna cevap verebiliriz.
> O trigonometrik fonksiyonlarin kesisim noktalari orantisiz sikliklarda.
> Tipki yukarida verdigim A kümesi gibi. Ayni yöntemle rahatlikla bulunabilir.
>
> *Örnek olarak sin, cos ve sec'in oldugu 3'lü fonksiyon sorusuna cevap
> veriyorum. Bütün fonksiyonlar icin ayni sekilde yapilabilir.
>
> Bu üc fonksiyonun kesistikleri noktalar
> B={0, pi/4, pi, 5pi/4, 2pi, 9pi/4,...}
> restgele bir noktayi secip sag tarifini inceliyoruz. (neden böyle yapmaya
> hakkimiz oldugunu yukarida anlattim.)
> Kagidi kalemi alip yukaridaki gibi boyadigimizda cevabin 1/4 oldugunu
> görüyoruz.
>
> Yani sin, cos ve sec' in cizili oldugu bir grafikte, Borel ölcüsüne göre
> restgele bir aralik secildiginde, o aralikta 1/4 ihtimalle cift sayida
> kesisim noktasi vardir.*
>
> tibet
>
>
> Benim baska bir sorum var. Onu da buraya ilistireyim, zaten roman gibi oldu
> bu mail.
>
> matematik bölümünde ikinci senemi bitirecegim neredeyse ve hala
> exponensiyel fonksiyonun sin ve cos'la olan iliskisini anlayabilmis degilim.
>
> e^(a+bi) = e^a * cos(b)  +  e^a * sin(b)
> Euler bunu nereden cikarmis? Kanitini okudum farkli kitaplardan. Bir insan
> evladinin o sekilde bu fikre ulasmasinin imkani yok. Cünkü zaten analiz
> kitaplarinda sin ve cos direkt fonksiyon serisi seklinde tanimlaniyor. Sonra
> tabi bu esitligi kafadan kanitliyor adam.
>
> Bunun tarihsel gelisimi nasil olmus? Bunu nereden ögrenebilirim. Bunu
> anlamam gerek.
> Yani Euler o fikre nasil ulastigini.
>
> ---
>
> Bu arada ali ilik'in 0.9999.. = 1 kaniti dünyanin en tirt kaniti olarak
> tarih sahnesinde yerini aldi bence.
>
> tibet
>
>
>
> --- On *Sat, 5/16/09, Ali ilik <aliilik at gmail.com>* wrote:
>
>
> From: Ali ilik <aliilik at gmail.com>
> Subject: [MD-sorular] olasılık sorusu
> To: "MD" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
> Date: Saturday, May 16, 2009, 2:47 AM
>
>
>
> Kötü bir soru sormak istiyorum.  (Kime göre, neye göre?)
>
>
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/File:Trigonometric_functions.svg linkinde
> "bildik" trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin hepsi birden çizilmiş.
> Keyfi bir açık şeridin -{(x,y), a<=x<=b ve y keyfi}- içinde bu eğrilerin
> kesişim noktalarının sayısının çift olma olasılığı nedir?
>
>
>
> Ali
>
>
>
> -----Inline Attachment Follows-----
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090517/65519b3d/attachment.htm 