[MD-sorular] olasılık sorusu

17 Mayıs 2009 Paz 01:23:22 EEST

Daha dogrusu soyle bir soru sorayim:

"Reel sayilar uzerinde Lebesgue olcumune gore" rasgele bir sayi
sectigimizde, bu sayinin pozitif olma olasiligi 1/2 midir? Bana pek oyle
gelmiyor.

Kerem

2009/5/17 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>

> Lebesgue olcusune gore ornegin rastgele bir sol nokta nasil secilebilir?
> Bana secilemez gibi geliyor ama konuya cok da hakim degilim, o yuzden
> soruyorum. Lebesgue olcusu uniform secime karsilik gelmiyor mu?
>
> Kerem
>
>
>
>
> 2009/5/17 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>
>
>  ben rastgeleyi su sekilde düsündüm.
>> önce rastgele bir sol nokta seciyorsunuz lebesgue ölcüsüne göre. (bu ne
>> demek? örnegin belli bir sayiyi secmek olasiligi sifir, negatif bir sayi
>> secme olasiligi 1/2, n teksayi ve pozitif olacak sekilde bir n icin (n, n+1)
>> araligina denk gelme ihtimali 1/4, gibi...)
>> sonra da yine lebesgue ölcüsüne göre sag noktayi rastgele seciyorsunuz.
>> Benim verdigim cevap bu sekilde rastgele secildigi düsünülerek verilmis
>> bir cevap.
>>
>> Ama baska sekilde de rastgele secebilirsiniz. örnegin önce rastgele
>> araligin orta noktasini secersiniz. sonra pozitif sayilardan rastgele
>> araligin uzunlugunu secersiniz. (bu durumda isler degisir mi bilmiyorum)
>>
>> Bu konuda ilginc bir örnek vereyim. Bir cembere rastgele kiris
>> ciziyorsunuz. Kirisin uzunlugunun yaricaptan büyük olma ihtimali nedir?
>> 1) önce cember üzerinde rastgele bir nokta, ardindan rastgele ikinci nokta
>> seciliyor
>> 2) önce dairenin icinden rastgele bir nokta seciliyor (iki boyutlu
>> Lebesgue ölcüsüne göre rastgele) Sonra bu nokta kirisin orta noktasi olacak
>> sekilde kiris ciziliyor. (nokta belirlendikten sonra kiris biriciktir)
>> 3) önce kirisin merkezden uzakligi [0,r) arasinda rastgele seciliyor,
>> sonra merkezi ortanoktayla baglayan dogrunun acisi [0,2pi) arasinda rastgele
>> seciliyor.
>>
>> Her üc durum da rastgele secim. Ama rastgele secmenin yöntemi farkli.
>> Her üc durum icin yukaridaki sorunun farkli farkli üc cevabi var.
>>
>> tibet
>>
>>
>> --- On *Sat, 5/16/09, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>* wrote:
>>
>>
>> From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>> Subject: Re: [MD-sorular] olasılık sorusu
>> To: tibetefendi at yahoo.com
>> Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
>> Date: Saturday, May 16, 2009, 3:17 PM
>>
>>
>> Birkac sorum olacak. Reel sayilarda rasgele bir aralik nasil secilir? Daha
>> dogrusu, tum reel sayilar uzerinde Lebesgue olcusune gore rasgele bir nokta
>> nasil secilir? Yani probability density function'i nedir?
>>
>> Tesekkurler.
>>
>> Kerem
>>
>>
>> 2009/5/16 <tibetefendi at yahoo.com<http://mc/compose?to=tibetefendi@yahoo.com>
>> >
>>
>>>  Ali Ilik'in sordugu soru bana cok ilginc geldi. Hatta Ali Ilik'in
>>> simdiye kadar sordugu en güzel soru diyebilirim buna ben. (Ali ilik bir
>>> "pablik figür" oldugu icin bu sekilde satasma hakkimiz doguyor, durumdan
>>> kendisi sorumludur.)
>>>
>>> Önce soruyu basitlestiriyorum. Bu basit sorulardan hareketle en sonunda
>>> trigonometrik fonksiyon sorusuna net bir cevap verebiliyoruz.
>>>
>>> Reel sayilarda rasgele bir aralik secildiginde. (Lebesgue ölcüsüne göre
>>> arka arkaya iki rastgele nokta seciliyor.) Bu araligin cift sayida tamsayi
>>> icerme olasiligi nedir?
>>> (Bence 1/2 ama nasil modellenebilecegini tam kestiremiyorum).
>>>
>>> Bir kere bu aralik ortalama kac tamsayi icerir? Bence ortalama sonsuz
>>> tamsayi icerir.
>>> Ama bir aralik secildiginde nihayetinde sonlu tamsayi icerecegini
>>> biliyoruz. Garip bir durum var yani. Ihtimallerin hepsi sonlu ama beklenti
>>> degeri sonsuz.
>>> Cünkü herhangi bir n sayisi verildiginde, rastgele secilen bir araligin
>>> n'den az tamsayi icerme ihtimali 0'dir.
>>>
>>> Tamsayi yerine dogal sayi desek.
>>> Sececegimiz aralik 1/4 ihtimalle tamamen negatif bölümde yer alacak.
>>> Neden? Cünkü ilk sectigimiz kenar 1/2 ihtimalle negatif olacak, ikincisi de
>>> ayni sekilde. Ikisinin birden negatif olma ihtimali 1/4. Yani sectigimiz
>>> aralik 1/4 ihtimalle hic dogal sayi icermeyecek. Ama 3/4 ihtimalle en az bir
>>> dogal sayi icerecek.
>>>
>>> Soruyu söyle soralim:
>>> Reel sayilarda rastgele bir aralik secildiginde cift sayida dogal sayi
>>> icerme olasiligi nedir?
>>>
>>> Bence bu sorunun cevabi 5/8.
>>> Neden böyle düsündüm? Cünkü 1/4 ihtimalle sectigimiz aralik hic dogal
>>> sayi icermeyecek. Sifir cift sayi.
>>> 3/4 ihtimalle de en az bir dogal sayi icerecek. Bu son durumda bence 1/2
>>> ihtimalle cift sayida dogal sayi icerir. (sebebini tam aciklayamiyorum)
>>> Bu durumda toplamda 1/4 + (3/4*1/2) = 5/8 ihtimalle cift sayida dogal
>>> sayi icerir.
>>>
>>>
>>> Su soruya cevap arayalim:
>>> Su kümeye bakalim. A={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,...} yani 3'ün katlarini
>>> icermiyor.
>>> Pozitif reel sayilarda rastgele bir aralik secildiginde A kümesinden
>>> cift sayida eleman icerme ihtimali nedir?
>>> Bu soru bence acaip ilginc. Cevabi da (cok büyük ihtimalle) 2/3.
>>>
>>> Cözümüm su sekilde. Araligi secmek icin rastgele iki farkli nokta
>>> secmeliyiz. Birincisini sectik diyelim. a noktasi olsun. Sececegimiz ikinci
>>> sayinin a'dan büyük olma ihtimali 1. (dikkat: pozitif reellerden seciyoruz).
>>> burada kagit kalemi alip araligin ikinci noktasi olan b'yi nereden
>>> secersek cift sayida nereden secersek tek sayida dogal sayiyi iceriyor,
>>> oralari farkli renkelere boyayalim. Cift sayi cikan yerler tek sayi cikan
>>> yerlerin iki kati uzunlugunda.
>>>
>>> Bu sekilde düsünerek Ali Ilik'in sorusuna cevap verebiliriz.
>>> O trigonometrik fonksiyonlarin kesisim noktalari orantisiz sikliklarda.
>>> Tipki yukarida verdigim A kümesi gibi. Ayni yöntemle rahatlikla bulunabilir.
>>>
>>> Örnek olarak sin, cos ve sec'in oldugu 3'lü fonksiyon sorusuna cevap
>>> veriyorum. Bütün fonksiyonlar icin ayni sekilde yapilabilir.
>>>
>>> Bu üc fonksiyonun kesistikleri noktalar
>>> B={0, pi/4, pi, 5pi/4, 2pi, 9pi/4,...}
>>> restgele bir noktayi secip sag tarifini inceliyoruz. (neden böyle yapmaya
>>> hakkimiz oldugunu yukarida anlattim.)
>>> Kagidi kalemi alip yukaridaki gibi boyadigimizda cevabin 1/4 oldugunu
>>> görüyoruz.
>>>
>>> Yani sin, cos ve sec' in cizili oldugu bir grafikte, Borel ölcüsüne göre
>>> restgele bir aralik secildiginde, o aralikta 1/4 ihtimalle cift sayida
>>> kesisim noktasi vardir.
>>>
>>> tibet
>>>
>>>
>>> Benim baska bir sorum var. Onu da buraya ilistireyim, zaten roman gibi
>>> oldu bu mail.
>>>
>>> matematik bölümünde ikinci senemi bitirecegim neredeyse ve hala
>>> exponensiyel fonksiyonun sin ve cos'la olan iliskisini anlayabilmis degilim.
>>>
>>> e^(a+bi) = e^a * cos(b)  +  e^a * sin(b)
>>> Euler bunu nereden cikarmis? Kanitini okudum farkli kitaplardan. Bir
>>> insan evladinin o sekilde bu fikre ulasmasinin imkani yok. Cünkü zaten
>>> analiz kitaplarinda sin ve cos direkt fonksiyon serisi seklinde
>>> tanimlaniyor. Sonra tabi bu esitligi kafadan kanitliyor adam.
>>>
>>> Bunun tarihsel gelisimi nasil olmus? Bunu nereden ögrenebilirim. Bunu
>>> anlamam gerek.
>>> Yani Euler o fikre nasil ulastigini.
>>>
>>> ---
>>>
>>> Bu arada ali ilik'in 0.9999.. = 1 kaniti dünyanin en tirt kaniti olarak
>>> tarih sahnesinde yerini aldi bence.
>>>
>>> tibet
>>>
>>>
>>>
>>> --- On *Sat, 5/16/09, Ali ilik <aliilik at gmail.com<http://mc/compose?to=aliilik@gmail.com>
>>> >* wrote:
>>>
>>>
>>> From: Ali ilik <aliilik at gmail.com<http://mc/compose?to=aliilik@gmail.com>
>>> >
>>> Subject: [MD-sorular] olasılık sorusu
>>> To: "MD" <md-sorular at matematikdunyasi.org<http://mc/compose?to=md-sorular@matematikdunyasi.org>
>>> >
>>> Date: Saturday, May 16, 2009, 2:47 AM
>>>
>>> Kötü bir soru sormak istiyorum.  (Kime göre, neye göre?)
>>>
>>> http://en.wikipedia.org/wiki/File:Trigonometric_functions.svg linkinde
>>> "bildik" trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin hepsi birden çizilmiş.
>>> Keyfi bir açık şeridin -{(x,y), a<=x<=b ve y keyfi}- içinde bu eğrilerin
>>> kesişim noktalarının sayısının çift olma olasılığı nedir?
>>>
>>> Ali
>>>
>>> -----Inline Attachment Follows-----
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>> sorular at matematikdunyasi.org<http://mc/compose?to=sorular@matematikdunyasi.org>
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>
>>
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090517/e33d3132/attachment.htm 