[MD-sorular] olasılık sorusu

17 Mayıs 2009 Paz 01:34:30 EEST

O zaman n uzunlugunda bir aralik icin olasiligi hesapla, sonra n'yi sonsuza
gotur.

A.

  _____  

From: Kerem Altun [mailto:kerem.altun at gmail.com] 
Sent: Sunday, May 17, 2009 1:18 AM
To: Ali Nesin
Cc: tibetefendi at yahoo.com; Matematik Dunyasi
Subject: Re: [MD-sorular] olasılık sorusu

Dedigim gibi konuya cok hakim degilim. Olcum kurami da cok bilmiyorum, ama
Lebesgue olcusu deyince ben soyle anliyorum: sececegimiz sayinin bir (a,b)
araliginda olmasi olasiligi, a ve b sayilarina degil de b - a farkina bagli
olmali. Yanlis midir bilmiyorum. Bu durumda (-n,n) araligina sinirlayip n'yi
sonsuza goturmekle problem cozulmuyor. Yani, "reel sayilarda Lebesgue
olcusune gore rasgele bir aralik secmek" pek iyi tanimli bir sey degil diye
dusunuyorum, yanlis midir?

Kerem

2009/5/17 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>

Once problemi (-n, n) araligina sinirla ve olasiligi oyle hesapla, ardindan
n'yi sonsuza gotur.

Baska dogal bir yolunu bilmiyorum.

Tibet'in sozunu ettigi probleme bakis acisi sorununun burada bir etkisi
oldugunu dusunmuyorum.

A.

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Kerem Altun
Sent: Sunday, May 17, 2009 12:18 AM

To: tibetefendi at yahoo.com
Cc: Matematik Dunyasi
Subject: Re: [MD-sorular] olasılık sorusu

Birkac sorum olacak. Reel sayilarda rasgele bir aralik nasil secilir? Daha
dogrusu, tum reel sayilar uzerinde Lebesgue olcusune gore rasgele bir nokta
nasil secilir? Yani probability density function'i nedir?

Tesekkurler.

Kerem

2009/5/16 <tibetefendi at yahoo.com>

Ali Ilik'in sordugu soru bana cok ilginc geldi. Hatta Ali Ilik'in simdiye
kadar sordugu en güzel soru diyebilirim buna ben. (Ali ilik bir "pablik
figür" oldugu icin bu sekilde satasma hakkimiz doguyor, durumdan kendisi
sorumludur.)

Önce soruyu basitlestiriyorum. Bu basit sorulardan hareketle en sonunda
trigonometrik fonksiyon sorusuna net bir cevap verebiliyoruz.

Reel sayilarda rasgele bir aralik secildiginde. (Lebesgue ölcüsüne göre arka
arkaya iki rastgele nokta seciliyor.) Bu araligin cift sayida tamsayi icerme
olasiligi nedir? 
(Bence 1/2 ama nasil modellenebilecegini tam kestiremiyorum).

Bir kere bu aralik ortalama kac tamsayi icerir? Bence ortalama sonsuz
tamsayi icerir.
Ama bir aralik secildiginde nihayetinde sonlu tamsayi icerecegini biliyoruz.
Garip bir durum var yani. Ihtimallerin hepsi sonlu ama beklenti degeri
sonsuz.
Cünkü herhangi bir n sayisi verildiginde, rastgele secilen bir araligin
n'den az tamsayi icerme ihtimali 0'dir.

Tamsayi yerine dogal sayi desek.
Sececegimiz aralik 1/4 ihtimalle tamamen negatif bölümde yer alacak. Neden?
Cünkü ilk sectigimiz kenar 1/2 ihtimalle negatif olacak, ikincisi de ayni
sekilde. Ikisinin birden negatif olma ihtimali 1/4. Yani sectigimiz aralik
1/4 ihtimalle hic dogal sayi icermeyecek. Ama 3/4 ihtimalle en az bir dogal
sayi icerecek.

Soruyu söyle soralim:
Reel sayilarda rastgele bir aralik secildiginde cift sayida dogal sayi
icerme olasiligi nedir?

Bence bu sorunun cevabi 5/8.
Neden böyle düsündüm? Cünkü 1/4 ihtimalle sectigimiz aralik hic dogal sayi
icermeyecek. Sifir cift sayi. 
3/4 ihtimalle de en az bir dogal sayi icerecek. Bu son durumda bence 1/2
ihtimalle cift sayida dogal sayi icerir. (sebebini tam aciklayamiyorum)
Bu durumda toplamda 1/4 + (3/4*1/2) = 5/8 ihtimalle cift sayida dogal sayi
icerir.

Su soruya cevap arayalim:
Su kümeye bakalim. A={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,...} yani 3'ün katlarini
icermiyor.
Pozitif reel sayilarda rastgele bir aralik secildiginde A kümesinden cift
sayida eleman icerme ihtimali nedir?
Bu soru bence acaip ilginc. Cevabi da (cok büyük ihtimalle) 2/3.

Cözümüm su sekilde. Araligi secmek icin rastgele iki farkli nokta
secmeliyiz. Birincisini sectik diyelim. a noktasi olsun. Sececegimiz ikinci
sayinin a'dan büyük olma ihtimali 1. (dikkat: pozitif reellerden seciyoruz).
burada kagit kalemi alip araligin ikinci noktasi olan b'yi nereden secersek
cift sayida nereden secersek tek sayida dogal sayiyi iceriyor, oralari
farkli renkelere boyayalim. Cift sayi cikan yerler tek sayi cikan yerlerin
iki kati uzunlugunda.

Bu sekilde düsünerek Ali Ilik'in sorusuna cevap verebiliriz.
O trigonometrik fonksiyonlarin kesisim noktalari orantisiz sikliklarda.
Tipki yukarida verdigim A kümesi gibi. Ayni yöntemle rahatlikla bulunabilir.

Örnek olarak sin, cos ve sec'in oldugu 3'lü fonksiyon sorusuna cevap
veriyorum. Bütün fonksiyonlar icin ayni sekilde yapilabilir.

Bu üc fonksiyonun kesistikleri noktalar
B={0, pi/4, pi, 5pi/4, 2pi, 9pi/4,...}
restgele bir noktayi secip sag tarifini inceliyoruz. (neden böyle yapmaya
hakkimiz oldugunu yukarida anlattim.)
Kagidi kalemi alip yukaridaki gibi boyadigimizda cevabin 1/4 oldugunu
görüyoruz.

Yani sin, cos ve sec' in cizili oldugu bir grafikte, Borel ölcüsüne göre
restgele bir aralik secildiginde, o aralikta 1/4 ihtimalle cift sayida
kesisim noktasi vardir.

tibet

Benim baska bir sorum var. Onu da buraya ilistireyim, zaten roman gibi oldu
bu mail.

matematik bölümünde ikinci senemi bitirecegim neredeyse ve hala exponensiyel
fonksiyonun sin ve cos'la olan iliskisini anlayabilmis degilim.

e^(a+bi) = e^a * cos(b)  +  e^a * sin(b)
Euler bunu nereden cikarmis? Kanitini okudum farkli kitaplardan. Bir insan
evladinin o sekilde bu fikre ulasmasinin imkani yok. Cünkü zaten analiz
kitaplarinda sin ve cos direkt fonksiyon serisi seklinde tanimlaniyor. Sonra
tabi bu esitligi kafadan kanitliyor adam.

Bunun tarihsel gelisimi nasil olmus? Bunu nereden ögrenebilirim. Bunu
anlamam gerek.
Yani Euler o fikre nasil ulastigini.

---

Bu arada ali ilik'in 0.9999.. = 1 kaniti dünyanin en tirt kaniti olarak
tarih sahnesinde yerini aldi bence.

tibet

--- On Sat, 5/16/09, Ali ilik <aliilik at gmail.com> wrote:

From: Ali ilik <aliilik at gmail.com>
Subject: [MD-sorular] olasılık sorusu
To: "MD" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Saturday, May 16, 2009, 2:47 AM

Kötü bir soru sormak istiyorum.  (Kime göre, neye göre?)

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Trigonometric_functions.svg linkinde
"bildik" trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin hepsi birden çizilmiş.
Keyfi bir açık şeridin -{(x,y), a<=x<=b ve y keyfi}- içinde bu eğrilerin
kesişim noktalarının sayısının çift olma olasılığı nedir?

Ali

-----Inline Attachment Follows-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090517/a5b83c25/attachment.htm 