[MD-sorular] olasılık sorusu

Ali Nesin nesin at bilgi.edu.tr
17 Mayıs 2009 Paz 17:03:27 EEST


Evet, haklisin sanirim.

A.

 

  _____  

From: tibetefendi at yahoo.com [mailto:tibetefendi at yahoo.com] 
Sent: Sunday, May 17, 2009 2:27 PM
To: Ali Nesin; Matematik Dunyasi
Subject: RE: [MD-sorular] olasılık sorusu

 


Ölcülebilir olmasini istedigimiz kümelerin bilesimi seklinde ifade
edilebilen, ama uydurdugumuz yöntemle ölcemedigimiz bir küme:

Bizim kurdugumuz sisteme göre bütün sinirli araliklarin ölcüsü sifir olmali
dedik. Simdi sinirli araliklarla bir küme insa edecegiz:

(-a,a) araliginin icinde (-a1,a1) araligini secelim, öyle ki ikinci
sectigimiz birincinin yarisi uzunlugunda olsun.
simdi a'dan büyük öyle bir b bulabiliriz ki, a ile b arasinda bir b1 noktasi
icin (-a1,a1) U (-b1, -a) U (a,b1)  in ölcümü bütün (-b,b) uzunlugunun ücte
biri olsun.
simdi b den büyük öyle bir c bulabiliriz ki b ile c arasinda bir c1 noktasi
icin (-a1,a1) U (-b1, -a) U (a,b1) U (-c1,-b) U (b, c1) in uzunlugu bütün
(-c,c) araliginin yarisi olsun.
...
..bu sekilde yarisi, ücte biri, yarisi, ücte biri olacak sekilde devam
ediyoruz. 
. (cizerek görmek kolay bunu)

ne yaptik? X = (-a1,a1) U (-b1, -a) U (a,b1) U (-c1,-b) U (b, c1) U (-d1,
-c) U (c, d1) U .....
seklinde ölcülebilir kümelerden (yani kurdugumuz yeni sistemde ölcüsünün
sifir olmasini istedigimiz kümelerden) yeni bir küme olusturduk. Bu kümenin
yeni sistemde ölcüsünü bulamiyoruz, cünkü 1/2,1/3,1/2,1/3,1/2,..... dizisi
yakinsamiyor. Bir dizinini herhangi bir altdizisi yakinsamiyorsa kendisi de
yakinsamiyordur. Dolayisiyla istedigimiz limit yok, bu kümeyi ölcemiyoruz.
ama bu küme ölcülebilir ilan ettigimiz sinirli araliklarin sayilabilir
bilesimi seklinde ifade edilebiliyor.
Demek ki bir sigma-cebiri kuramiyoruz bu sekilde.

Yukaridaki insaat, a,b,c,d,e... sayilari dogal sayilardan secilecek sekilde
yapilabiliyor.
Yani Measure_n(X)'in bir altdizisinin 1/2,1/3,1/2,1/3,1/2,..... oldugunu
göstermis oluyoruz.

tibet


--- On Sun, 5/17/09, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:


From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
Subject: RE: [MD-sorular] olasılık sorusu
To: "'tibet efendi'" <tibetefendi at yahoo.com>
Date: Sunday, May 17, 2009, 4:27 AM

"Sayilabilir coklukta ölcülebilir kümenin bilesimi yine ölcülebilir
olmalidir. Iste bu bozuluyor. Yani o garip hareketler yapan X kümesini bizim
ölcülebilir olarak ilan ettigimiz araliklarin sayilabilir bilesimi seklinde
yazabiliriz. Ama ortaya cikan sey ölcülemez oluyor."

Sanmiyorum.

A.

 

  _____  

From: tibet efendi [mailto:tibetefendi at yahoo.com] 
Sent: Sunday, May 17, 2009 1:17 PM
To: Ali Nesin; Matematik Dunyasi
Subject: RE: [MD-sorular] olasılık sorusu

 


"Simdi isin garip yani surada: Bu dizi bir sayiya yakinsamak zorunda degil.
Sectigimiz X kümesi sacma sapan hareketler yapiyor, bu yüzden de n sonsuza
giderken X kümesinin n'ye bagli olan ihtimalleri yakinsamiyor olabilir. Iste
düsündügümüz seyin iyi tanimli olmamasinin sebebi de bu."

 

Bu durumda "X kumesinin olcumu/olasiligi yoktur" denir.

Her altkumenin olcumunun oldugu ve bazi donusumler altinda olcumun
degismedigi bir olcumun olmadigi biliniyor bildgim kadariyla.

A.

 

Evet ama söyle bir durum var. Bir olasilik uzayindan bahsediyorsak ortada
bir sigma cebiri olmali. (misal borel-sigma cebiri) Bu sigma cebirinin
elemanlarina ölcülebilir eleman denir.

Sigma cebirinin de olayi su: Sayilabilir coklukta ölcülebilir kümenin
bilesimi yine ölcülebilir olmalidir. Iste bu bozuluyor. Yani o garip
hareketler yapan X kümesini bizim ölcülebilir olarak ilan ettigimiz
araliklarin sayilabilir bilesimi seklinde yazabiliriz. Ama ortaya cikan sey
ölcülemez oluyor.

 

Mantikli cözümü benim önceki mailde dedigim gibi (mora boyadigim sekilde)
sorunun sorulusunu degistirmek.

 

Yani bütün R üzerinde uniform dagilim diye bir sey olmadigindan "reel
sayilardan restgele sayi secmek" yanlis bir laf. Dedigimiz yöntemle de bu
lafi matematiksel temele oturtacak bir olasilik uzayi (ya da rastlanti uzay,
her ne ise türkcesi) insa edemiyoruz. Ben de ederiz sanmistim ama olmuyor.

 

tibet

 

 



--- On Sun, 5/17/09, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:


From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
Subject: RE: [MD-sorular] olasılık sorusu
To: "'tibet efendi'" <tibetefendi at yahoo.com>, "'Matematik Dunyasi'"
<md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Sunday, May 17, 2009, 1:41 AM

"Simdi isin garip yani surada: Bu dizi bir sayiya yakinsamak zorunda degil.
Sectigimiz X kümesi sacma sapan hareketler yapiyor, bu yüzden de n sonsuza
giderken X kümesinin n'ye bagli olan ihtimalleri yakinsamiyor olabilir. Iste
düsündügümüz seyin iyi tanimli olmamasinin sebebi de bu."

 

Bu durumda "X kumesinin olcumu/olasiligi yoktur" denir.

Her altkumenin olcumunun oldugu ve bazi donusumler altinda olcumun
degismedigi bir olcumun olmadigi biliniyor bildgim kadariyla.

A.

 

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of tibet efendi
Sent: Sunday, May 17, 2009 5:24 AM
To: Matematik Dunyasi
Subject: Re: [MD-sorular] olasılık sorusu

 


Sanirim Kerem hakli.
Yani reel sayilarda esit dagilim tanimlayamayiz ki rastgele bir tercihten
bahsedelim.
Dolayisiyla "reel sayilardan rastgele bir sayi seciyoruz" cümlesi yanlis.
Reel sayilardan rastgele bir sayi secemeyiz.
Reel sayilardan bir sayi secebiliriz. Ama rastgele secemeyiz. Rastgelenin
matematiksel tanimi esit dagilim. O da bütün R üzerinde yok.

Diger yandan Ali Nesin'in dedigi seyi düsünmüstüm ben de aynen.
(-n,n) üzerindeki esit dagilima bakariz. Bir X kümesini onunla kesistirip
esit dagilimdaki ihtimaline bakariz. 
Sonra n sonsuza giderken bu ihtimal nereye gidiyor ona bakariz.
Simdi isin garip yani surada: Bu dizi bir sayiya yakinsamak zorunda degil.
Sectigimiz X kümesi sacma sapan hareketler yapiyor, bu yüzden de n sonsuza
giderken X kümesinin n'ye bagli olan ihtimalleri yakinsamiyor olabilir. Iste
düsündügümüz seyin iyi tanimli olmamasinin sebebi de bu.

Tabi benim cevap verdigim soruda o trigonometrik fonksiyonlarin kesisim
noktalari periyodik oldugu icin, örnek verdigim kümeler de hep periyodik
oldugu icin gözümüze pek batmadi bu iyi tanimli olmama durumu.

Bu durumda sorunun sorulus seklini deigistirirsek sorun cözülüyor.
Soruda denmeli ki: (-n,n) araliginda rastgele bir aralik secsek bu aralikta
cift sayida kesisim noktasi olmasi ihtimali, n sonsuza giderken ne olur.
Bu sekilde hic bir sorun kalmiyor.

tibet




--- On Sat, 5/16/09, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:


From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
Subject: RE: [MD-sorular] olasılık sorusu
To: "'Kerem Altun'" <kerem.altun at gmail.com>
Cc: tibetefendi at yahoo.com, "'Matematik Dunyasi'"
<md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Saturday, May 16, 2009, 5:33 PM

Bu benim de konum degil ama soyle yaparsak olmuyor mu?

X, R'nin bir altkumesi olsun.

Measure_n(X) = Measure(X kesisim (-n, n)) / 2n olsun.

Measure X de simdi bu sayilarin n sonsuza giderken limiti olsun.

A.

 

  _____  

From: Kerem Altun [mailto:kerem.altun at gmail.com] 
Sent: Sunday, May 17, 2009 1:48 AM
To: Ali Nesin
Cc: tibetefendi at yahoo.com; Matematik Dunyasi
Subject: Re: [MD-sorular] olasılık sorusu

 

Hocam aslinda bu yazdiginizin (-n,n) araliginda olasiligi hesaplayip n'yi
sonsuza goturmekten pek farki yok gibi gorunuyor. Matematik bilgimi cok
zorlayarak baska bir iddiada bulunacagim, tamamen sacmaliyor da olabilirim
tabii ama: yani ornek uzay reel sayilar ise, bu kumenin Borel sigma
algebra'si uzerinde hem olasilik aksiyomlarini saglayacak hem de Lebesgue
olcumu olacak bir olcum tanimlamak olanaksizdir diye dusunuyorum. Tibet
efendi'nin sorusuyla alakasi ile soyle ki, reel sayilarda rasgele bir aralik
zaten secilemeyeceginden, bu aralikta kac tamsayi vardir sorusu da anlamsiz
oluyor.

Bir matematikci boyle birsey sorduguna gore esasinda muhtemelen benim
dedigim yanlistir, ama bu dediklerimin neresinin yanlis oldugunu
soyleyebilecek birisi var midir?

Kerem

2009/5/17 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>

 

O zaman n uzunlugunda bir aralik icin olasiligi hesapla, sonra n'yi sonsuza
gotur.

A.

 

 

 

 

 

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090517/1b4403a0/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi