[MD-sorular] duzgun yakinsama

[E. Mehmet Kıral]

S^1 üzerinde karesi integrallenebilir bir f fonksiyonu alalım. Ya da R
üzerinde periyodik fonksiyon olarak da düşünebiliriz.

f fonksiyonunun fourier serisini açabiliriz.

Bu seri f fonksiyonuna düzgün yakınsamak zorunda değil. Hatta eğer fonksiyon
sürekli değilse yakınsamıyor. Gibbs fenomeni denen şey tam olarak da sürekli
olmayan fonksiyonlara  bu düzgün yakınsamaması. Ancak her durumda seri
fonksiyona L^2 normunda yakınsıyor.

Ancak eğer elimizdeki f fonksiyonunun C^1 olduğunu (yani türevinin sürekli
olduğunu) varsayarsak, bu durumda seri fonksiyona düzgün yakınsıyor(muş).

Düzgün yakınsaklık ve neredeyse her yerde yakınsaklıkla ilgili şu çok ilginç
teorem de mevcut. Varsayım sadece kalkış uzayının sonlu ölçüye sahip olması.

Erogoff teoremi: (X,M, \mu) bir ölçü uzayı olsun, ayrıca \mu(X) < sonsuz.
Eğer f_n dizisi bir f fonksiyonuna neredeyse her yerde noktasal olarak
yakınsıyorsa, bu durumda f_n dizisi f fonksiyonuna neredeyse her yerde
düzgün yakınsar. Yani her epsilon >0 için öyle bir E kümesi bulunabilir ki
\mu(X\E) < epsilon, ve f_n dizisi E kümesine kısıtlandığı zaman f
fonksiyonuna düzgün yakınsıyor.

2009/5/24 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>

>  Haklisin gene...
>
> A.
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* Kerem Altun [mailto:kerem.altun at gmail.com]
> *Sent:* Sunday, May 24, 2009 6:08 PM
> *To:* Ali Nesin
> *Cc:* Ali Nesin; md
>
> *Subject:* Re: [MD-sorular] duzgun yakinsama
>
>
>
> sin(x/n) fonksiyonunun nasil 0 fonksiyonuna yakinsadigini anlayamadim hala.
> n ne kadar buyuk olursa olsun, sin(x/n) = 1 esitligini saglayan bir x
> olacaktir. Dolayisiyla her x icin sin(x/n) fonksiyonu hicbir zaman
> (-epsilon,epsilon) araliginda kalmayacak. Nerede yanlis yapiyorum?
>
> Kerem
>
>  2009/5/24 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
>
> 1)       Dedigin de olur.
>
> 2)       Sen tanim kumesinin R olmasini istemistin. Oyle bir ornek verdim.
> Deger kumesinin de R olmasini istiyorsan x + sin(x/n) fonksiyonlarini al.
>
> A.
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* Kerem Altun [mailto:kerem.altun at gmail.com]
> *Sent:* Sunday, May 24, 2009 5:41 PM
> *To:* Ali Nesin
> *Cc:* md
>
>
> *Subject:* Re: [MD-sorular] duzgun yakinsama
>
>
>
> (sinx)/n fonksiyonu mu demek istediniz? sin(x/n) her zaman -1 ile 1
> degerlerini alir cunku belli x sayilari icin.
>
> Kerem
>
> 2009/5/24 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
>
> Weierstrass M-testi yazisinda R uzerine duzgun yakinsayan fonksiyon dizi
> ornekleri var.
>
> En ilginc ve en kullanisli ornekler orada.
>
> Bunun disinda sin(x/n) fonksiyonlari 0 fonksiyonuna duzgun yakinsar. Bu
> ornegi verebilirdim, atlamisim.
>
> A.
>
>
>
>
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *Kerem Altun
> *Sent:* Sunday, May 24, 2009 1:45 PM
> *To:* md
>
>
> *Subject:* [MD-sorular] duzgun yakinsama
>
>
>
> MD'nin son sayisini okudum, iki sorum olacak.
>
>
> 1. Cogu ornekte fonksiyonlarin duzgun yakinsakligi R'nin sinirlanmis bir
> altkumesi icin gosterilmis. Bunun disindaki tek ornek f_n(x) = 1/n gibi
> sabit fonksiyonlardan olusan bir diziydi galiba. Fonksiyonlar genellikle R
> uzerinde duzgun yakinsak olmaz mi? Baska bir ornek verebilir miyiz?
>
> 2. Bir "pulse train" dusunelim. Bunun ne demek oldugunu bilmeyenler,
> http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/34/Dutycycle.png adresinde
> gorebilirler. Fonksiyonun eksi sonsuzdan sonsuza periyodik olarak devam
> ettigini dusunuyoruz. Bu fonksiyonun Fourier serisi fonksiyona duzgun
> yakinsamiyor. Noktasal da yakinsamiyor hatta, asagidaki sebepten:
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon
>
> Noktasal olarak "almost everywhere" yakinsak aslinda. Duzgun yakinsamada da
> boyle bir kavram var midir? Yani biz muhendisler olarak Fourier serisi
> yakinsak olmamasina ragmen kullaniyoruz. Cogu ozellik a.e. yakinsak iken de
> gecerli mi oluyor?
>
> Tesekkurler.
>
> Kerem
>
>
> Not: Ali Ilik agustosa kadar listeye yazmiyormus, benim yazmami rica etti.
> Bu listede cikardigi tum polemiklerin ciktisini alip imzalayarak Koy'de
> dagitacakmis bu yaz. Ilgilenenlere duyurulur.
>
>
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>



-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090525/b4e777aa/attachment.htm