[MD-sorular] Degismeli olmayan gruplar

[tibet efendi]

en basit (en kücük) örnek simetrik grup 3.

diyelim önünde üc tane nesne var. soldan saga sirali duruyorlar.
siraya dokunmamak eylemini (1,2,3) olarak adlandiralim.ilk iki elemanin yerini degistirmek eylemini (2,1,3) olarak,son iki elemanin yerini degistirmeyi (1,3,2) olarak,ilk elemanla son elemanin yerini degistirmeyi (3,2,1) olarak adlandiralim.
bu sekilde devam et. 
yani örnegin en soldaki elemani alip en saga koyarsan bu degisime (2,3,1) adini vereceksin, bu sonuncusu yukaridakilerden nitelik olarak farkli, bunda üc elemanin birden pozisyonu degismis oluyor.neyse geriye kaldi bir eleman onu da sen bul.
toplamda 3!=6 tane degistirme eylemi tanimladik.
Eylemleri arka arkaya uygulamak da bu 6 elemanli eylemler kümesi üzerinde bir islem olmus olur. Yani örnegin (2,1,3)*(2,1,3)=(1,2,3) ediyor.
Bu degistirme eylemleri bir grup olustururlar. Neden?1) (1,2,3) elemani etkisiz eleman.2) hangi iki eylemi arka arkaya yaparsak sonucta tanimladigimiz 6 eylemden birini yapmis oluyoruz. Yani küme * islemi altinda kapali. * islemi derken eylemleri arka arkaya yapmayi kastediyorum.3) her eylemin bir tersi var. Yani her eylem icin öyle bir eylem var ki ikisini arka arkaya yapinca sonucta sira ilk haline geri dönüyor.4) ha bir de parantezsiz yazilma özelligini göstermen gerek. (a*b)*c=a*(b*c) olacak.
NEyse bu grup abelyen degil.Örnekse,Önce ilk iki elemani degistirip sonra son iki elemani degistirmekleÖnce son iki elemani degistirip sonra ilk iki elemani degistirmek ayni kapiya cikmiyor.
S_3'ün abelyen olmadigini gösterdik. S_3 kendinden büyük diger simetrik gruplarin altgrubu oldugu icin, onlarin da hicbiri abelyen degil.
---
baska bir örnek, ters cevrilebilir 2x2 matrisler kümesinde, matris carpimi islemi bir grup olusturuyor. Bunun adi GL(2) diye geciyor. Bu da abelyen degil. cünkü matris carpimi degismeli degildir.Bu sonsuz elemanliya örnek.
GL(3), GL(4) falan hicbiri abelyen degil.
D_3'ten itibaren Dieder gruplari abelyen degil, bunun ne olduguna vikipediadan bakabilirsin. Bu da cok görsel bir olay. http://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group
Bunlar benim bildigim kadariyla en basitleri.
tibet




--- On Tue, 5/26/09, sadelikin at yahoo.com <sadelikin at yahoo.com> wrote:

From: sadelikin at yahoo.com <sadelikin at yahoo.com>
Subject: [MD-sorular] Degismeli olmayan gruplar
To: md-sorular at matematikdunyasi.org
Date: Tuesday, May 26, 2009, 12:23 PM

Merhaba,su ana degin degisme ozelligi olmayan -sonlu veya degil- bir grup ornegine rastlamadim. Internette de biraz aradim haliyle, "non-abelian groupscok basit bir seyi sormayayayim diye.Bu konuyla ilgili bilgisi olanlar bunu paylasabilirlerse cok memnun olurum.Tesekkurler ve kolayliklar.

Sakin


      
-----Inline Attachment Follows-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular


      
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090526/fa8cc0b4/attachment.htm