[MD-sorular] Degistirip degistirmemek

[tibet efendi]

Tamam, bu sorular cok güzel. bunlarda hic bir sorun yok. Cünkü dagilimlari biliyoruz. Yani parayi koyanin hangi yöntemle koydugu gayet acik. Kücük bir sorun var onu da asagida düzeltiyorum.
Ilk soru:Adamin biri (0, 1) araligindan rastgele bir sayi secsin ve iki zarftan birine bu sayiyi, digerine de bu sayinin iki katini koysun.
Zarflardan birini secelim ve icinden (0, 1) araligindan bir sayi ciksin. (1’den buyuk bir sayi cikarsa zarfi degistirmeyecegimizi biliyoruz.)
Bu bilgiyle, zarfi degistirmek fark eder mi fark etmez mi?
Yapacagimiz tercih gördügümüz paranin kac para olduguna bagli. Yani 0,1 lira mi görüyoruz yoksa 0,9 lira mi görüyoruz? Stratejimiz buna göre degisir.
Ama diyelim baska bir adam bizim yerimize zarfi aciyor ve bize sadece cikan paranin 1'den kücük oldugunu söylüyor. tam olarak kac para var bildirmiyor bize.
O zaman en kolay cevap sudur bu soruya:Kücük zarfin icinde mutlaka (0,1) araliginda bir para var. Büyük zarfin icerisinde ise %50 ihtimalle (0,1) araliginda %50 ihtimalle (1,2) araliginda bir sayi var.Yani sectigimiz zarftan (0,1) araliginda para ciktiysa 2/3 ihtimalle kücük zarfi secmisizdir.Yani degistirmek dogru stratejidir.
Bu soruyu rassal degiskenler tanimlayip integrallerle de cözebilirsiniz. Bayes formülleri falan da kullanabilirsiniz. Hepsinde 2/3 cikar kücük zarfi secmis olma ihtimaliniz. Ama bence en güzeli bu benim anlattigim sekilde cevaplandirmak. Cünkü bizim icin önemli olan (0,1) araligi bilgisi.
Ha soruda derse ki: Zarfi sectim 0,2 miktarinda para cikti. Sectigim zarfin kücük zarf olma ihtimali nedir? O zaman oturup bayes'lerle hesap kitap yapmaniz gerek. (bu arada bence bu da güzel soru)
ikinci soruyu yanitlayan cikmazsa onunla da ugrasacagim.
tibet

Bana manifoldlarin kenarlarina yön (orientation) vermeyi anlatan akabinde intersection number, euler charakteristic, brouwer degreeleri falan anlatan kitap gerekiyor. Bu konuda bana bir kitap önerebilecek diferensiyal topoloji uzmani bir kisilik var mi?
tibet



--- On Wed, 5/27/09, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:

From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
Subject: RE: [MD-sorular] Degistirip degistirmemek
To: "'Kerem Altun'" <kerem.altun at gmail.com>
Cc: "'tibet efendi'" <tibetefendi at yahoo.com>, "'Matematik Dunyasi'" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Wednesday, May 27, 2009, 3:08 AM




 
 







 



Evet Kerem, biliyorum. Soruna boyle
yaklasan bir de makale var. Matematik Koyu’nde makale. Yarin Koy’de
olacagim, referansi veririm. 

Gene de beni ikna etmeyen bir sey var.  

Neyse… Su oyunu oynayalim: 

 Â  

Adamin biri (0, 1) araligindan rastgele
bir sayi secsin ve iki zarftan birine bu sayiyi, digerine de bu sayinin iki
katini koysun. 

Zarflardan birini secelim ve icinden (0,
1) araligindan bir sayi ciksin. (1’den buyuk bir sayi cikarsa zarfi degistirmeyecegimizi
biliyoruz.) 

Bu bilgiyle, zarfi degistirmek fark eder mi
fark etmez mi?
 

Bir baska oyun da soyle: Adam diger zarfa rastgele
sayinin iki katini ya da yarisini koyuyor ve buna karar vermek icin de yazi
tura atiyor. Bu durumda stratejimiz ne olmali? 

 Â  

Ali 

 Â  









From: Kerem Altun
[mailto:kerem.altun at gmail.com] 

Sent: Wednesday, May 27, 2009
11:36 AM

To: Ali Nesin

Cc: tibet efendi; Matematik Dunyasi

Subject: Re: [MD-sorular]
Degistirip degistirmemek 



 Â  

Soruyu soyle dusunelim.
Bir adamin elinde 3X lira para var. Iki tane de bos zarf var. Bu adam zarflari
rasgele 1 ve 2 diye numaralandiriyor (gizlice), ve 1 numaraya X kadar, 2
numaraya 2X kadar para koyuyor. Bu olay gerceklestikten sonra biz zarflardan birini
rastgele seciyoruz. 1'i secmis olsak da, 2'yi secmis olsak da degistirince
beklentimiz aynidir. Bu cozum zaten yazida "Farketmez!" basligiyla
verilmis. Bu cozumde gerceklesen olaylar ve bunlarin olasiliklari iyi tanimli.
Sonsuzla falan da hic isimiz yok zaten soruya boyle bakildiginda.



"Farkeder!" kisminda ise boyle birsey yok. Zarfi acip bakinca M lira
bulduk diyelim. Diger zarfta ya M/2 lira var, ya da 2M lira var. Ama 1/2
olasilikla M/2, 1/2 olasilikla 2M lira var diyemeyiz, ve beklentiyi de bu sekilde
hesaplayamayiz. Cunku paralarin secildigi dagilim belli degil. Zarflara parayi
koyan adamin birine M/2 digerine M lira koymasi olayi (A olayi) ile, birine M
digerine 2M koymasi olayi (B olayi) ayni olaylar degildir. Biz zarfi secmeden
once ya A olayi ya da B olayi gerceklesmis, bundan kusku yok. Ama bu olaylarin
olasiliklari neden birbirine esit ve 1/2? Hangi dagilima gore? Bize bu bilgiyi
veren bir sey yok soruda.



Ikinci bakis acisi bu sorulari yanitlamaktan aciz oldugundan, ilk yaklasim
dogrudur.



Kerem



 



2009/5/27 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr> 





  

Bu paradoksun uniform dagilimla filan ilgisi oldugunu
sanmiyorum. 

Dogal sayilar uzerinde “countably additive�
ozelligini saglayan bir olcum yoktur ama ornegin Goldbach sanisiyla birebir
baglantisi olan asallarin dagilimi son derece canli bir konudur. 

Cogumuzun bildigi gibi counting measure denen ve matematikte
cok kullanilan bir sey var. 

Zaten celiski elde edilirken bir mantik hatasi yapilmiyor.
“Bu uniform dagilimdir dolayisiyla …� denmiyor. 

  

“Sonsuz para olamaz dolayisiyla problem yanlis�
argumanini da gozum tutmadi. 

Sonsuz para olmamasi beni pek ilgilendirmiyor… Oldugunu
varsay! 

  

Tibet’le Kerem’in cozumlerini baska yerlerde de
gordum. Ama dedigim gibi gozum tutmadi. Benim gozumde paradoksu yok etmiyor. 

  

Ali 

  

  







 Â  



 





      
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090527/51003fd6/attachment.htm