[MD-sorular] Degistirip degistirmemek

[Ali Nesin]

Differansiyel geometride benim bildigim en iyi kitap (8 ciltlik filan
galiba) Spivak'tir.
Muhtemelen sorduklarin birinci ciltte vardir.
Ama kitap hala piyasada mi bilmem. 30 yil once okumustum!
Cok da anlasilirdir diye animsiyorum. 
Ali

  _____  

From: tibet efendi [mailto:tibetefendi at yahoo.com] 
Sent: Wednesday, May 27, 2009 7:32 PM
To: Ali Nesin; Matematik Dunyasi
Subject: RE: [MD-sorular] Degistirip degistirmemek


Tamam, bu sorular cok güzel. bunlarda hic bir sorun yok. Cünkü dagilimlari
biliyoruz. Yani parayi koyanin hangi yöntemle koydugu gayet acik. Kücük bir
sorun var onu da asagida düzeltiyorum. 


Ilk soru:

Adamin biri (0, 1) araligindan rastgele bir sayi secsin ve iki zarftan
birine bu sayiyi, digerine de bu sayinin iki katini koysun.
Zarflardan birini secelim ve icinden (0, 1) araligindan bir sayi ciksin.
(1'den buyuk bir sayi cikarsa zarfi degistirmeyecegimizi biliyoruz.)
Bu bilgiyle, zarfi degistirmek fark eder mi fark etmez mi?




Yapacagimiz tercih gördügümüz paranin kac para olduguna bagli. Yani 0,1 lira
mi görüyoruz yoksa 0,9 lira mi görüyoruz? Stratejimiz buna göre degisir.




Ama diyelim baska bir adam bizim yerimize zarfi aciyor ve bize sadece cikan
paranin 1'den kücük oldugunu söylüyor. tam olarak kac para var bildirmiyor
bize.




O zaman en kolay cevap sudur bu soruya:

Kücük zarfin icinde mutlaka (0,1) araliginda bir para var. Büyük zarfin
icerisinde ise %50 ihtimalle (0,1) araliginda %50 ihtimalle (1,2) araliginda
bir sayi var.

Yani sectigimiz zarftan (0,1) araliginda para ciktiysa 2/3 ihtimalle kücük
zarfi secmisizdir.

Yani degistirmek dogru stratejidir.




Bu soruyu rassal degiskenler tanimlayip integrallerle de cözebilirsiniz.
Bayes formülleri falan da kullanabilirsiniz. Hepsinde 2/3 cikar kücük zarfi
secmis olma ihtimaliniz. Ama bence en güzeli bu benim anlattigim sekilde
cevaplandirmak. Cünkü bizim icin önemli olan (0,1) araligi bilgisi.




Ha soruda derse ki: Zarfi sectim 0,2 miktarinda para cikti. Sectigim zarfin
kücük zarf olma ihtimali nedir? O zaman oturup bayes'lerle hesap kitap
yapmaniz gerek. (bu arada bence bu da güzel soru)




ikinci soruyu yanitlayan cikmazsa onunla da ugrasacagim.




tibet







Bana manifoldlarin kenarlarina yön (orientation) vermeyi anlatan akabinde
intersection number, euler charakteristic, brouwer degreeleri falan anlatan
kitap gerekiyor. Bu konuda bana bir kitap önerebilecek diferensiyal topoloji
uzmani bir kisilik var mi?




tibet




--- On Wed, 5/27/09, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:



From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
Subject: RE: [MD-sorular] Degistirip degistirmemek
To: "'Kerem Altun'" <kerem.altun at gmail.com>
Cc: "'tibet efendi'" <tibetefendi at yahoo.com>, "'Matematik Dunyasi'"
<md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Wednesday, May 27, 2009, 3:08 AM



Evet Kerem, biliyorum. Soruna boyle yaklasan bir de makale var. Matematik
Koyu'nde makale. Yarin Koy'de olacagim, referansi veririm.

Gene de beni ikna etmeyen bir sey var. 

Neyse. Su oyunu oynayalim:

 

Adamin biri (0, 1) araligindan rastgele bir sayi secsin ve iki zarftan
birine bu sayiyi, digerine de bu sayinin iki katini koysun.

Zarflardan birini secelim ve icinden (0, 1) araligindan bir sayi ciksin.
(1'den buyuk bir sayi cikarsa zarfi degistirmeyecegimizi biliyoruz.)

Bu bilgiyle, zarfi degistirmek fark eder mi fark etmez mi?




Bir baska oyun da soyle: Adam diger zarfa rastgele sayinin iki katini ya da
yarisini koyuyor ve buna karar vermek icin de yazi tura atiyor. Bu durumda
stratejimiz ne olmali?

 

Ali

 


  _____  


From: Kerem Altun [mailto:kerem.altun at gmail.com] 
Sent: Wednesday, May 27, 2009 11:36 AM
To: Ali Nesin
Cc: tibet efendi; Matematik Dunyasi
Subject: Re: [MD-sorular] Degistirip degistirmemek

 

Soruyu soyle dusunelim. Bir adamin elinde 3X lira para var. Iki tane de bos
zarf var. Bu adam zarflari rasgele 1 ve 2 diye numaralandiriyor (gizlice),
ve 1 numaraya X kadar, 2 numaraya 2X kadar para koyuyor. Bu olay
gerceklestikten sonra biz zarflardan birini rastgele seciyoruz. 1'i secmis
olsak da, 2'yi secmis olsak da degistirince beklentimiz aynidir. Bu cozum
zaten yazida "Farketmez!" basligiyla verilmis. Bu cozumde gerceklesen
olaylar ve bunlarin olasiliklari iyi tanimli. Sonsuzla falan da hic isimiz
yok zaten soruya boyle bakildiginda.

"Farkeder!" kisminda ise boyle birsey yok. Zarfi acip bakinca M lira bulduk
diyelim. Diger zarfta ya M/2 lira var, ya da 2M lira var. Ama 1/2 olasilikla
M/2, 1/2 olasilikla 2M lira var diyemeyiz, ve beklentiyi de bu sekilde
hesaplayamayiz. Cunku paralarin secildigi dagilim belli degil. Zarflara
parayi koyan adamin birine M/2 digerine M lira koymasi olayi (A olayi) ile,
birine M digerine 2M koymasi olayi (B olayi) ayni olaylar degildir. Biz
zarfi secmeden once ya A olayi ya da B olayi gerceklesmis, bundan kusku yok.
Ama bu olaylarin olasiliklari neden birbirine esit ve 1/2? Hangi dagilima
gore? Bize bu bilgiyi veren bir sey yok soruda.

Ikinci bakis acisi bu sorulari yanitlamaktan aciz oldugundan, ilk yaklasim
dogrudur.

Kerem



2009/5/27 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>

 

Bu paradoksun uniform dagilimla filan ilgisi oldugunu sanmiyorum.

Dogal sayilar uzerinde "countably additive" ozelligini saglayan bir olcum
yoktur ama ornegin Goldbach sanisiyla birebir baglantisi olan asallarin
dagilimi son derece canli bir konudur.

Cogumuzun bildigi gibi counting measure denen ve matematikte cok kullanilan
bir sey var.

Zaten celiski elde edilirken bir mantik hatasi yapilmiyor. "Bu uniform
dagilimdir dolayisiyla ." denmiyor.

 

"Sonsuz para olamaz dolayisiyla problem yanlis" argumanini da gozum tutmadi.

Sonsuz para olmamasi beni pek ilgilendirmiyor. Oldugunu varsay!

 

Tibet'le Kerem'in cozumlerini baska yerlerde de gordum. Ama dedigim gibi
gozum tutmadi. Benim gozumde paradoksu yok etmiyor.

 

Ali

 

 

 


-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090528/70b15f00/attachment-0001.htm