[MD-sorular] ALT'LI SORU

[Ali Nesin]

Dogru olan ama kanitlanamayan "dogal" bir ozellik bilmiyorum. Bu konuda
yakin zamanda bir seyler okumustum ama unuttum dogrusu.

 

Marifet, onermeleri kodlayip "benim kanitim yoktur" gibi bir anlami olan bir
onerme yazabilmekte. 

Bu onermenin kaniti varsa o zaman onerme yanlistir ve yanlis bir sey
kanitlandigindan teori celiskilidir. Demek ki onermenin kaniti olamaz. 

Bu onermenin kaniti yoksa o zaman onerme dogrudur! Al sana dogru olan ama
kanitlanamayan bir onerme.

Galiba.

 

Tuhaf bir bicimde "ben yanlisim" diyen bir onerme bulunamiyor ama yukardaki
gibi "benim kanitim yoktur" diyen bir onerme bulunabiliyor.

 

Boyle bir onerme ya dogal sayilarda dogrudur ve o zaman kaniti olamaz
elbette. 

 

"Doğal sayılar peano aksiyomlarından daha fazla nedirler ki" diye sormussun.
Biri digerinden ne daha fazla ne daha az. 

Ama su iki kumeyi karsilastirabiliriz:

A = {Peano aritmetiginde kanitlanabilir onermeler}

B = {Dogal sayilarda dogru onermeler}

A, B'nin bir altkumesidir ama B, A'dan daha buyuktur.

 

Hatta eger T, dogal sayilarin bir modeli oldugu herhangi bir recursive
aksiyom sistemiyse ve

C = {T'de kanitlanan onermeler} 

ise zaman da C, B'nin oz altkumesi olur.

 

Ali

 

  _____  

From: E. Mehmet Kıral [mailto:luzumi at gmail.com] 
Sent: Friday, May 29, 2009 12:39 PM
To: Ali Nesin
Cc: TNCRSHN; md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: Re: [MD-sorular] ALT'LI SORU

 

Böyle bir önerme örneği bulunabilir mi?
Bulunması beklenebilir mi?

Doğal sayılar peano aksiyomlarından daha fazla nedirler ki, bu model deyip
duruyoruz? Sayıların 0 = boşküme, 1= {0}, ... gibi tanımlandığında fazladan
özellikler mi kazanıyorlar? Peano aksiyomunu sağlayan yapılar topluluğunun
sağladığı özellikler? Ne gibi özellikler kazanabilirler?

2009/5/29 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>

 

Eger bir olgunun bir ispati varsa o zaman o olgu her modelde dogrudur.

Yani "evdeki hesap (teori) carsiya (pratige) uyar".

Ne tumevarimla ispatta ne de baska bir ispat yonteminde sorun var.

 

Ote yandan, dogal sayilarda dogru olan her olgu kanitlanamaz.

 

Yani kanitlaniyorsa dogrudur, hem dogal sayilarda hem de Peano aritmetiginin
herhangi bir modelinde.

Ama dogruysa illa kanitlanacak diye bir sey yoktur. (Gödel.)

Olgu dogal sayilarda dogruysa ama kanitlanamiyorsa, o zaman olgunun yanlis
oldugu (dogal sayilara cok benzeyen, Peano aksiyomlarini saglayan) bir model
vardir.

 

A.

 

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of TNCRSHN
Sent: Friday, May 29, 2009 10:58 AM
To: md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: Re: [MD-sorular] ALT'LI SORU

 

O zaman Tümevarımla yapılan ispatlarda yetersiz mi olur? Yani hatalı mı
olur?

 

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Ali Nesin
Sent: Friday, May 29, 2009 2:09 AM
To: 'tibet efendi'; 'Matematik Dunyasi'
Subject: Re: [MD-sorular] ALT'LI SORU

Evet.

Dahasi, hicbir aksiyom sistemi dogal sayilari tanimlamakta yeterli olamaz.

Bunu Lowenheim-Skolem Teoremi diyor.

Ama cok daha guclusunu Godel diyor: Dogal sayilarda dogru olan ama Peano'nun
(ya da bir recursive baska aksiyom sisteminin) bir modelinde yanlis olan
onermeler vardir.

Ali

 

  _____  

From: tibet efendi [mailto:tibetefendi at yahoo.com] 
Sent: Friday, May 29, 2009 2:01 AM
To: Ali Nesin; Matematik Dunyasi
Subject: RE: [MD-sorular] ALT'LI SORU

 


Ee o zaman Peano Axiom'lari dogal sayilari tanimlamakta yetersiz mi?


--- On Thu, 5/28/09, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:


From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
Subject: RE: [MD-sorular] ALT'LI SORU
To: "'Ege Azuz'" <egeselazuz at gmail.com>, "'tibet efendi'"
<tibetefendi at yahoo.com>
Cc: "'Metin Saraykoylu'" <metinsaraykoylu at cs.bilgi.edu.tr>, "'Matematik
Dunyasi'" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Thursday, May 28, 2009, 4:40 PM

"Peano aksiyomlarını sağlayan her küme doğal sayılar kümesi değildir ama
doğal sayılara eşyapısaldır."

Bu dogru degil. Peano aksiyomlarinin, kardinalitesi daha buyuk modelleri
vardir. (Lowenheim-Skolem Teoremi'nden dolayi:
http://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim-Skolem_theorem) 

Soruyu en naif bicimde soracak olursak, arkadasimizin sorusunun yaniti
olumludur elbet. Bu naif soruyu daha matematiksel ve dogal hale getirmek
icin sayilarin insasini ters cevirip, gercel sayilardan hareketle N, Z ve Q
sayi kumelerini tanimlamak gerekiyor. Bu da MD-2007-II sayisinin sayfa
38-45'te yapilmistir.

A.

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Ege Azuz
Sent: Friday, May 29, 2009 12:47 AM
To: tibet efendi
Cc: Metin Saraykoylu; Matematik Dunyasi
Subject: Re: [MD-sorular] ALT'LI SORU

 

   Peano aksiyomlarını sağlayan herküme doğal sayılar kümesi değildir ama
doğas sayılara eşyapısaldır, iki kümenin eşyapısal olması kümelerin aynı
olduğu anlamaına gelmez, N yi kurduktan sonra Z nin içinne gömüyoruz yani Z
de N ye eşyapısal bir küme buluyoruz ve buna artık N diyoruz, orijinal
derken bu kastedildi sanırım.Bu yüzden bu kurulumla ilk başta N kümesi Z'nin
altkümesi değildir.

"Bu tür seyleri düsünürken sayilara verdigimiz 1,2,3 gibi isimlerden
bagimsiz düsünmemiz gerekiyor. Yoksa olayin icinden cikamayiz"

Yukarda ne dediğinizi anlayamadım, sayı kümeleri istediğimiz özellikler
sağlansın diye birbirinin altkümesi olurlar, işin içinden çıkamayacak bir
durum yok

Bu konu MD'de olağanüstü birşekilde anlatılmıştır.

Ege


 

 

 

 

 


-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090529/a22f3990/attachment.htm