[MD-sorular] ALT'LI SORU

29 Mayıs 2009 Cum 15:03:06 EEST

Bir önerme eğer belitlerle kanıtlanamıyorsa bu belit sisteminin o önermeyi
doğrulayan ve yanlışlayan birer modeli bulunabileceğini hatırlıyorum. Hatta
sanırım bu modeldeki eleman sayısı countable bile seçilebilir.

Ben kanıtlanamam'ı aritmetiksel olarak yazınca oluşan önermeye P diyelim. Bu
önermenin Peano aritmetiğinin hiçbir modelinde kanıtı yoktur ama her
modelinde doğrudur. Dolayısıyla bu B/A kümesinden bir elemana örnek değil.

Hatalı mıyım?

Sanırım ben kanıtlanamam önermesini sadece ilkel terimlerle, onlar arasında
oluşan ilişkilerden yararlanarak yazmıyoruz. Ama o zaman da nasıl yapıyoruz?
2009/5/29 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>

>
>
> Dogru olan ama kanitlanamayan "dogal" bir ozellik bilmiyorum. Bu konuda
> yakin zamanda bir seyler okumustum ama unuttum dogrusu.
>
>
>
> Marifet, onermeleri kodlayip "benim kanitim yoktur" gibi bir anlami olan
> bir onerme yazabilmekte.
>
> Bu onermenin kaniti varsa o zaman onerme yanlistir ve yanlis bir sey
> kanitlandigindan teori celiskilidir. Demek ki onermenin kaniti olamaz.
>
> Bu onermenin kaniti yoksa o zaman onerme dogrudur! Al sana dogru olan ama
> kanitlanamayan bir onerme.
>
> Galiba...
>
>
>
> Tuhaf bir bicimde "ben yanlisim" diyen bir onerme bulunamiyor ama yukardaki
> gibi "benim kanitim yoktur" diyen bir onerme bulunabiliyor.
>
>
>
> Boyle bir onerme ya dogal sayilarda dogrudur ve o zaman kaniti olamaz
> elbette.
>
>
>
> "Doğal sayılar peano aksiyomlarından daha fazla nedirler ki" diye
> sormussun. Biri digerinden ne daha fazla ne daha az.
>
> Ama su iki kumeyi karsilastirabiliriz:
>
> A = {Peano aritmetiginde kanitlanabilir onermeler}
>
> B = {Dogal sayilarda dogru onermeler}
>
> A, B'nin bir altkumesidir ama B, A'dan daha buyuktur.
>
>
>
> Hatta eger T, dogal sayilarin bir modeli oldugu herhangi bir recursive
> aksiyom sistemiyse ve
>
> C = {T'de kanitlanan onermeler}
>
> ise zaman da C, B'nin oz altkumesi olur.
>
>
>
> Ali
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* E. Mehmet Kıral [mailto:luzumi at gmail.com]
> *Sent:* Friday, May 29, 2009 12:39 PM
> *To:* Ali Nesin
> *Cc:* TNCRSHN; md-sorular at matematikdunyasi.org
> *Subject:* Re: [MD-sorular] ALT'LI SORU
>
>
>
> Böyle bir önerme örneği bulunabilir mi?
> Bulunması beklenebilir mi?
>
> Doğal sayılar peano aksiyomlarından daha fazla nedirler ki, bu model deyip
> duruyoruz? Sayıların 0 = boşküme, 1= {0}, ... gibi tanımlandığında fazladan
> özellikler mi kazanıyorlar? Peano aksiyomunu sağlayan yapılar topluluğunun
> sağladığı özellikler? Ne gibi özellikler kazanabilirler?
>
> 2009/5/29 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
>
>
>
> Eger bir olgunun bir ispati varsa o zaman o olgu her modelde dogrudur.
>
> Yani "evdeki hesap (teori) carsiya (pratige) uyar".
>
> Ne tumevarimla ispatta ne de baska bir ispat yonteminde sorun var.
>
>
>
> Ote yandan, dogal sayilarda dogru olan her olgu kanitlanamaz.
>
>
>
> Yani kanitlaniyorsa dogrudur, hem dogal sayilarda hem de Peano
> aritmetiginin herhangi bir modelinde.
>
> Ama dogruysa illa kanitlanacak diye bir sey yoktur. (Gödel.)
>
> Olgu dogal sayilarda dogruysa ama kanitlanamiyorsa, o zaman olgunun yanlis
> oldugu (dogal sayilara cok benzeyen, Peano aksiyomlarini saglayan) bir model
> vardir.
>
>
>
> A.
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *TNCRSHN
> *Sent:* Friday, May 29, 2009 10:58 AM
> *To:* md-sorular at matematikdunyasi.org
> *Subject:* Re: [MD-sorular] ALT'LI SORU
>
>
>
> O zaman Tümevarımla yapılan ispatlarda yetersiz mi olur? Yani hatalı mı
> olur?
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *Ali Nesin
> *Sent:* Friday, May 29, 2009 2:09 AM
> *To:* 'tibet efendi'; 'Matematik Dunyasi'
> *Subject:* Re: [MD-sorular] ALT'LI SORU
>
> Evet.
>
> Dahasi, hicbir aksiyom sistemi dogal sayilari tanimlamakta yeterli olamaz.
>
> Bunu Lowenheim-Skolem Teoremi diyor.
>
> Ama cok daha guclusunu Godel diyor: Dogal sayilarda dogru olan ama
> Peano'nun (ya da bir recursive baska aksiyom sisteminin) bir modelinde
> yanlis olan onermeler vardir.
>
> Ali
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* tibet efendi [mailto:tibetefendi at yahoo.com]
> *Sent:* Friday, May 29, 2009 2:01 AM
> *To:* Ali Nesin; Matematik Dunyasi
> *Subject:* RE: [MD-sorular] ALT'LI SORU
>
>
>
> Ee o zaman Peano Axiom'lari dogal sayilari tanimlamakta yetersiz mi?
>
>
> --- On *Thu, 5/28/09, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>* wrote:
>
>
> From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
> Subject: RE: [MD-sorular] ALT'LI SORU
> To: "'Ege Azuz'" <egeselazuz at gmail.com>, "'tibet efendi'" <
> tibetefendi at yahoo.com>
> Cc: "'Metin Saraykoylu'" <metinsaraykoylu at cs.bilgi.edu.tr>, "'Matematik
> Dunyasi'" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
> Date: Thursday, May 28, 2009, 4:40 PM
>
> "Peano aksiyomlarını sağlayan her küme doğal sayılar kümesi değildir ama
> doğal sayılara eşyapısaldır..."
>
> Bu dogru degil... Peano aksiyomlarinin, kardinalitesi daha buyuk modelleri
> vardir. (Lowenheim-Skolem Teoremi'nden dolayi:
> http://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim-Skolem_theorem)
>
> Soruyu en naif bicimde soracak olursak, arkadasimizin sorusunun yaniti
> olumludur elbet. Bu naif soruyu daha matematiksel ve dogal hale getirmek
> icin sayilarin insasini ters cevirip, gercel sayilardan hareketle N, Z ve Q
> sayi kumelerini tanimlamak gerekiyor. Bu da MD-2007-II sayisinin sayfa
> 38-45'te yapilmistir.
>
> A.
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *Ege Azuz
> *Sent:* Friday, May 29, 2009 12:47 AM
> *To:* tibet efendi
> *Cc:* Metin Saraykoylu; Matematik Dunyasi
> *Subject:* Re: [MD-sorular] ALT'LI SORU
>
>
>
>    Peano aksiyomlarını sağlayan herküme doğal sayılar kümesi değildir ama
> doğas sayılara eşyapısaldır, iki kümenin eşyapısal olması kümelerin aynı
> olduğu anlamaına gelmez, N yi kurduktan sonra Z nin içinne gömüyoruz yani Z
> de N ye eşyapısal bir küme buluyoruz ve buna artık N diyoruz, orijinal
> derken bu kastedildi sanırım.Bu yüzden bu kurulumla ilk başta N kümesi Z'nin
> altkümesi değildir.
>
> "Bu tür seyleri düsünürken sayilara verdigimiz 1,2,3 gibi isimlerden
> bagimsiz düsünmemiz gerekiyor. Yoksa olayin icinden cikamayiz"
>
> Yukarda ne dediğinizi anlayamadım, sayı kümeleri istediğimiz özellikler
> sağlansın diye birbirinin altkümesi olurlar, işin içinden çıkamayacak bir
> durum yok
>
> Bu konu MD'de olağanüstü birşekilde anlatılmıştır.
>
> Ege
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>

-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090529/43d57a66/attachment.htm 