[MD-sorular] Asal sayilar

[E. Mehmet Kýral]

R herhangi bir halka olsun. R* da R'nin tersinir elemanlarından oluşan küme
olsun,
yani,

R* = {a \in R : ba = ab = 1 eşitliğini sağlayacak bir b \in R vardır}.

Birer x \in R ve y \in R sayıları verildiği zaman eğer cx = y eşitliğini
sağlayacak bir c \in R sayısı bulunabiliyorsa, x sayısı y sayısını böler, ya
da y sayısı x sayısına bölünebilirdir deriz.

Bir p \in R sayısı verildiği zaman eğer t = xy eşitliği sağlandığı zaman x
ya da y'den biri tersinir olmak zorunda kalıyorsa bu durumda t'ye
indirgenemez diyeceÄŸiz.

Bir p \in R sayısı xy çarpımını böldüğü zaman ya x ya da y sayılarından
birini bölmek zorunda kaldığı zaman da p sayısına asal diyeceğiz.

Şimdi R'yi Z, yani tamsayılar alın. Buradaki tersinir elemanlar sadece 1 ile
-1.
MD'de zamanında kanıtlanmış bir teorem (bkz. halkalar asallar ve
indirgenemezler sayısı) tamsayılar halkasında her asalın bir indirgenemez ve
her indirgenemezin bir asal olduğunu söylüyor (bu ikisi genel halkalarda
denk kavramlar deÄŸiller).

Şimdi 13 sayısını alalım örneğin. Yazabileceğimiz tüm 13 = xy eşitliklerine
bakalım.

13 = 1*13, 13 = (-1)*(-13),  13 = 13*1, 13 = (-13)*(-1).

Yazılabilecek tüm eşitlikleri yazmak genel olarak halkalarda bu kadar kolay
değildir. Z özel halinde, tamsayılar üzerindeki sıralama yapısını (ya da
daha doÄŸrusu mutlak deÄŸer fonksiyonunu) kullanarak kontrol etmemiz gereken
durumları sonlu adede indirdik,

Burada her iki çarpandan biri mutlaka 1 ya da -1. Dolayısıyla 13 bir
indirgenemez. Tamsayılarda indirgenemezlerle asallar aynı şey olduklarından
13 bir asal olur.

iyi günler

2009/5/30 erdem çapçý <wildcrazies at yahoo.com>

>   Iyigunler,
>  Asal sayilarin tanimi ile ilgili bir sorunum var. Matematik Dunyasi'nin
> S:4 2002 "Ikiz asal sayilar uzerine" de de ve genellikle kullandigimiz
> tanim;
>
>    Yalnizca 1 ve kendisi ile tam olarak (yani kalan birakmadan) bolunebilen
> tam sayilara asal sayilar denir.
>
>  Bu tanima gore oncelikle tabi bolunebilme kavramini netlestirmek
> gerekiyor. Eger bolunebilmeyi "kalansiz olarak bolmek" anlaminda
> kullanirsak, asal sayi tanimimizda bir kume sinirlandirilmasi olmadigi icin
> "5  2 ye bolunebilir, sonuc 2.5 kalan 0 dir" diyebilirsek bu durumda hicbir
> sayi asal sayi olamaz. Tanima kume sinirlandirmasi getirirsek, tamsayilar
> kumesi diyelim, bu durumda asal sayilar olarak bahsettigimiz elemanlar
> negatif sayilara da bolunebiliyor.
>  Nerede hata yapiyorum cozemedim.
>  Sanki
>   Pozitif tamsayilar kumesinde yalnizca 1 ve kendisi ile tam olarak
> bolunebilen tam sayilara asal sayilar denir.
>  gibi bir tanim verirsek istedigimiz sonuca ulasabiliyoruz.
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>



-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090530/bee9a699/attachment.htm