[MD-sorular] Gruplar Teorisi

[ozgur ince]

3 icin sanirim soyle birsey olabilir (fikir bana, dogru geldi ama belirtmem
gerekiyor ki; fikir bana ait degil, sadece paylasmak istedim).

Oncelikle soyle bir teorem var: conjugate'lerin sayisi grubun bir elemanin
centralizer'inin index'ine esit. O halde soyle dusunelim, birim elemandan
farkli bir eleman alalim ve bunun conjugate'lerinin sayisi sadece 1 olsun o
halde [G: C(a)]= 1 olacagindan Lagrange teoremi geregi G=C(a) olacaktir yani
bu a elemani ayni zamanda G nin center'inin elemani olacaktir. Hatirlarsaniz
a'yi birim elemandan farkli secmistik ve G de nonabelian gruptu oyle ise
G'nin merkezi yani Z(G), G nin has bir normal grubu olacak ki bu G nin
simple  olmasi ile celisir.

Simdi conjugate'in 2 oldugunu kabul edelim. O halde index [G: C(a)]= 2
olacak ki buda C(a)'nin normal altgrup oldugu anlamina gelir (hatirlarsaniz
index'i olan grup normaldi). Bu yine G'nin simple olmasi ile celisir.

Sonuc olarak conjugate ne 1 ne de 2 olabildigine gore en az 3 olmak
zorundadir.

2009/10/9 Ali Nesin <anesin at bilgi.edu.tr>

> a) Eger A abelyense ve f : G --> A bit grup homomorfizmasiysa, o zaman
> f'nin cekirdegi (kernel'i), G' altgrubunu, yani G grubunun turevini, yani
> {xyx^{-1}y^{-1} : x, y \in G} kümesiyle gerilen altgrubu icerir. Cunku G'nin
> her x ve y altgrubu icin, A abelyen oldugundan, f(xyx^{-1}y^{-1}) =
> f(x)f(y)f(x)^{-1}f(y)^{-1} = 1 olur.
> b) G herhangi bir grupsa, G'nin turevini iceren her altgrup normaldir.
> Kan?t: G' < H < G olsun. h \in H, g \in G olsun. ghg^{-1} =
> (ghg^{-1}h)h^{-1} \in Hh^{-1} = H.
> Bu ikisinden 1 cikar.
>
> 2 de kolay: H maksimal olsun. Eger G' < H degilse HG' = G olur dolayisiyla,
> G/H abelyendir, yani G' < H'dir, celiski. Demek ki G' < H. Bu durumda G/H
> abelyendir ve kanitin sonunu getirmek zor olmaz.
>
> 3'u dusunemedim.
>
> Ali
>
>
> ozgur ince wrote:
>
>> Asagida takildigim bikac soru var. Sizlerinde fikrini anlamak istedim.
>>
>> 1) f: G --> G' uzerine homomorphism olsun ve G' abelian. G'nin kernal'i
>> iceren her alt grubu normal olmasi gerekiyor mu? Ispatin bir yerinde bunu
>> dusunulurek yapilmis.
>>
>> Buna benzer bir soruda commutator grup icin var; bunun icin ghg^-1=
>> ghg^-1h^-1h yazdigimiz zaman cikiyor...
>>
>> 2) Solvable bir G grupta maximal proper normal subgroup'un G'deki index'i
>> neden prime olmasi gerekiyor?
>>
>> 3) Simple nonabelian bir gruptaki bir elemanin en az kac conjugate'i
>> olmasi gerekiyor? Ben kendisinide icerdigi zaman en az 3 diye biliyorum ama
>> emin degilim.
>>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20091031/a33b3c06/attachment.htm