[MD-sorular] Gruplar Teorisi
Ali Nesin
anesin at bilgi.edu.tr
1 Kas 2009 Paz 02:40:49 EET
Evet dogru. En az 3 olmali.
Tam 3 oluyor mu?
A.
ozgur ince wrote:
> 3 icin sanirim soyle birsey olabilir (fikir bana, dogru geldi ama
> belirtmem gerekiyor ki; fikir bana ait degil, sadece paylasmak istedim).
>
> Oncelikle soyle bir teorem var: conjugate'lerin sayisi grubun bir
> elemanin centralizer'inin index'ine esit. O halde soyle dusunelim,
> birim elemandan farkli bir eleman alalim ve bunun conjugate'lerinin
> sayisi sadece 1 olsun o halde [G: C(a)]= 1 olacagindan Lagrange
> teoremi geregi G=C(a) olacaktir yani bu a elemani ayni zamanda G nin
> center'inin elemani olacaktir. Hatirlarsaniz a'yi birim elemandan
> farkli secmistik ve G de nonabelian gruptu oyle ise G'nin merkezi yani
> Z(G), G nin has bir normal grubu olacak ki bu G nin simple olmasi ile
> celisir.
>
> Simdi conjugate'in 2 oldugunu kabul edelim. O halde index [G: C(a)]= 2
> olacak ki buda C(a)'nin normal altgrup oldugu anlamina gelir
> (hatirlarsaniz index'i olan grup normaldi). Bu yine G'nin simple
> olmasi ile celisir.
>
> Sonuc olarak conjugate ne 1 ne de 2 olabildigine gore en az 3 olmak
> zorundadir.
>
> 2009/10/9 Ali Nesin <anesin at bilgi.edu.tr <mailto:anesin at bilgi.edu.tr>>
>
> a) Eger A abelyense ve f : G --> A bit grup homomorfizmasiysa, o
> zaman f'nin cekirdegi (kernel'i), G' altgrubunu, yani G grubunun
> turevini, yani {xyx^{-1}y^{-1} : x, y \in G} kümesiyle gerilen
> altgrubu icerir. Cunku G'nin her x ve y altgrubu icin, A abelyen
> oldugundan, f(xyx^{-1}y^{-1}) = f(x)f(y)f(x)^{-1}f(y)^{-1} = 1 olur.
> b) G herhangi bir grupsa, G'nin turevini iceren her altgrup
> normaldir. Kan?t: G' < H < G olsun. h \in H, g \in G olsun.
> ghg^{-1} = (ghg^{-1}h)h^{-1} \in Hh^{-1} = H.
> Bu ikisinden 1 cikar.
>
> 2 de kolay: H maksimal olsun. Eger G' < H degilse HG' = G olur
> dolayisiyla, G/H abelyendir, yani G' < H'dir, celiski. Demek ki G'
> < H. Bu durumda G/H abelyendir ve kanitin sonunu getirmek zor olmaz.
>
> 3'u dusunemedim.
>
> Ali
>
>
> ozgur ince wrote:
>
> Asagida takildigim bikac soru var. Sizlerinde fikrini anlamak
> istedim.
>
> 1) f: G --> G' uzerine homomorphism olsun ve G' abelian. G'nin
> kernal'i iceren her alt grubu normal olmasi gerekiyor mu?
> Ispatin bir yerinde bunu dusunulurek yapilmis.
>
> Buna benzer bir soruda commutator grup icin var; bunun icin
> ghg^-1= ghg^-1h^-1h yazdigimiz zaman cikiyor...
>
> 2) Solvable bir G grupta maximal proper normal subgroup'un
> G'deki index'i neden prime olmasi gerekiyor?
>
> 3) Simple nonabelian bir gruptaki bir elemanin en az kac
> conjugate'i olmasi gerekiyor? Ben kendisinide icerdigi zaman
> en az 3 diye biliyorum ama emin degilim.
>
>
>
MD-sorular mesaj listesiyle ilgili
daha fazla bilgi