[MD-sorular] Gruplar Teorisi

[Kürsat Aker]

Basit bir grupta verilen bir conjugacy sinifindaki elemanlarin
sayisi burada gosterildigi gibi en az 3 olur. Tam oldugu bir ornek
icin, A_5 (5 eleman uzerindeki alterne grup) bakmamiz yeterli oldur.

Biliyoruz ki, n >= 5 icin A_n basit bir gruptur.

Bilgisayarinizda Gap ya da Sage yukluyse, istedigimiz conjugacy classi
soyle bulabiliriz.

GAP'a girdikten sonra:

#########################################################################

  G = AlternatingGroup(5);

  ct = CharacterTable( G );

  OrdersClassRepresentatives( ct );

  [1, 2, 3, 5, 5]



sonucunu verir.

Eger Karakter Tablosunu gormek isterseniz,

   Display(ct);

Eger Centralizer larin boylarini gormek isterseniz;

   SizesCentralizers(ct);



Sage, kendi icinde GAP cagirabilir. Bu ozelligi kullanmak isterseniz,
kullanacaginiz
Sage kodu ise su satirlar:

#########################################################################

## G grubunu, GAP'ta 5 eleman uzerindeki bir alternating grup olarak tanimla.
G = gap('AlternatingGroup(5)')

## ct, G'nin karakter tablosu olsun.
ct = G.CharacterTable()

## ct nin conjugacy siniflarinda kac tane eleman oldugunu goster.

ct.OrdersClassRepresentatives()

## ct yi goster.
ct.Display()

## ct nin centralizer boylarini goster.
ct.SizesCentralizers()

#########################################################################

Alexander Hulpke

www.math.colostate.edu/~hulpke/lectures/m666/ctblex1.pdf

de tum bunlari gayet renkli bir sekilde acikliyor.

Oradaki ornekte de, Mathieu 11 grubu, 3 elemanli bir conjugacy sinifi var.




2009/11/1 Ali Nesin <anesin at bilgi.edu.tr>:
> Evet dogru. En az 3 olmali.
> Tam 3 oluyor mu?
> A.
>
> ozgur ince wrote:
>> 3 icin sanirim soyle birsey olabilir (fikir bana, dogru geldi ama
>> belirtmem gerekiyor ki; fikir bana ait degil, sadece paylasmak istedim).
>>
>> Oncelikle soyle bir teorem var: conjugate'lerin sayisi grubun bir
>> elemanin centralizer'inin index'ine esit. O halde soyle dusunelim,
>> birim elemandan farkli bir eleman alalim ve bunun conjugate'lerinin
>> sayisi sadece 1 olsun o halde [G: C(a)]= 1 olacagindan Lagrange
>> teoremi geregi G=C(a) olacaktir yani bu a elemani ayni zamanda G nin
>> center'inin elemani olacaktir. Hatirlarsaniz a'yi birim elemandan
>> farkli secmistik ve G de nonabelian gruptu oyle ise G'nin merkezi yani
>> Z(G), G nin has bir normal grubu olacak ki bu G nin simple  olmasi ile
>> celisir.
>>
>> Simdi conjugate'in 2 oldugunu kabul edelim. O halde index [G: C(a)]= 2
>> olacak ki buda C(a)'nin normal altgrup oldugu anlamina gelir
>> (hatirlarsaniz index'i olan grup normaldi). Bu yine G'nin simple
>> olmasi ile celisir.
>>
>> Sonuc olarak conjugate ne 1 ne de 2 olabildigine gore en az 3 olmak
>> zorundadir.
>>
>> 2009/10/9 Ali Nesin <anesin at bilgi.edu.tr <mailto:anesin at bilgi.edu.tr>>
>>
>>     a) Eger A abelyense ve f : G --> A bit grup homomorfizmasiysa, o
>>     zaman f'nin cekirdegi (kernel'i), G' altgrubunu, yani G grubunun
>>     turevini, yani {xyx^{-1}y^{-1} : x, y \in G} kümesiyle gerilen
>>     altgrubu icerir. Cunku G'nin her x ve y altgrubu icin, A abelyen
>>     oldugundan, f(xyx^{-1}y^{-1}) = f(x)f(y)f(x)^{-1}f(y)^{-1} = 1 olur.
>>     b) G herhangi bir grupsa, G'nin turevini iceren her altgrup
>>     normaldir. Kan?t: G' < H < G olsun. h \in H, g \in G olsun.
>>     ghg^{-1} = (ghg^{-1}h)h^{-1} \in Hh^{-1} = H.
>>     Bu ikisinden 1 cikar.
>>
>>     2 de kolay: H maksimal olsun. Eger G' < H degilse HG' = G olur
>>     dolayisiyla, G/H abelyendir, yani G' < H'dir, celiski. Demek ki G'
>>     < H. Bu durumda G/H abelyendir ve kanitin sonunu getirmek zor olmaz.
>>
>>     3'u dusunemedim.
>>
>>     Ali
>>
>>
>>     ozgur ince wrote:
>>
>>         Asagida takildigim bikac soru var. Sizlerinde fikrini anlamak
>>         istedim.
>>
>>         1) f: G --> G' uzerine homomorphism olsun ve G' abelian. G'nin
>>         kernal'i iceren her alt grubu normal olmasi gerekiyor mu?
>>         Ispatin bir yerinde bunu dusunulurek yapilmis.
>>
>>         Buna benzer bir soruda commutator grup icin var; bunun icin
>>         ghg^-1= ghg^-1h^-1h yazdigimiz zaman cikiyor...
>>
>>         2) Solvable bir G grupta maximal proper normal subgroup'un
>>         G'deki index'i neden prime olmasi gerekiyor?
>>
>>         3) Simple nonabelian bir gruptaki bir elemanin en az kac
>>         conjugate'i olmasi gerekiyor? Ben kendisinide icerdigi zaman
>>         en az 3 diye biliyorum ama emin degilim.
>>
>>
>>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>