[MD-sorular] Gruplar Teorisi

[Ali Nesin]

a) Eger A abelyense ve f : G --> A bit grup homomorfizmasiysa, o zaman 
f'nin cekirdegi (kernel'i), G' altgrubunu, yani G grubunun turevini, 
yani {xyx^{-1}y^{-1} : x, y \in G} kümesiyle gerilen altgrubu icerir. 
Cunku G'nin her x ve y altgrubu icin, A abelyen oldugundan, 
f(xyx^{-1}y^{-1}) = f(x)f(y)f(x)^{-1}f(y)^{-1} = 1 olur.
b) G herhangi bir grupsa, G'nin turevini iceren her altgrup normaldir. 
Kan?t: G' < H < G olsun. h \in H, g \in G olsun. ghg^{-1} = 
(ghg^{-1}h)h^{-1} \in Hh^{-1} = H.
Bu ikisinden 1 cikar.

2 de kolay: H maksimal olsun. Eger G' < H degilse HG' = G olur 
dolayisiyla, G/H abelyendir, yani G' < H'dir, celiski. Demek ki G' < H. 
Bu durumda G/H abelyendir ve kanitin sonunu getirmek zor olmaz.

3'u dusunemedim.

Ali

ozgur ince wrote:
> Asagida takildigim bikac soru var. Sizlerinde fikrini anlamak istedim.
>
> 1) f: G --> G' uzerine homomorphism olsun ve G' abelian. G'nin 
> kernal'i iceren her alt grubu normal olmasi gerekiyor mu? Ispatin bir 
> yerinde bunu dusunulurek yapilmis.
>
> Buna benzer bir soruda commutator grup icin var; bunun icin ghg^-1= 
> ghg^-1h^-1h yazdigimiz zaman cikiyor...
>
> 2) Solvable bir G grupta maximal proper normal subgroup'un G'deki 
> index'i neden prime olmasi gerekiyor?
>
> 3) Simple nonabelian bir gruptaki bir elemanin en az kac conjugate'i 
> olmasi gerekiyor? Ben kendisinide icerdigi zaman en az 3 diye 
> biliyorum ama emin degilim.