[MD-sorular] uniform sampling

[Kerem Altun]

Yanitiniz icin tesekkurler. Pratikte de duzgun dagilmasi derken sunu
kastediyorum: Verdigim ornekten yola cikalim. Kriterimiz, her nokta icin, en
yakin noktayla arasindaki uzakligin 0.1'den kucuk olmasi olsun. [0,1]^2
karesinden uniform dagilimdan N nokta sectik diyelim. Sordugum suna benzer
birsey: Bu N noktanin bu soyledigim kriteri 1-epsilon olasilikla saglamasi
icin, N kac olmalidir? N epsilon'a bagli bir sayi elbette.

Bu soru baya zor sanirim. Ama belki daha basit ve benzer bir kriter
kullanirsak soru kolaylasabilir, iste ben de o kriteri ve de cozum yolunu
ariyorum.

Kerem



2009/10/11 Ceyhun B. Akgül <cb.akgul at gmail.com>

> Merhaba,
>
> Bu sorunun yine pratik yaniti ne kadar fazla secerseniz o kadar iyidir
> olmali.
> Burada aslinda istatistiksel bir dagilimi, o dagilimdan uretilen orneklerle
> betimlemeye calisiyoruz.
> Bu turden parametrik olmayan betimlemelere de ancak asimptotik olarak
> guvenilebilir.
>
> Ornegin, duzgun dagildigini bildiginiz N tane noktadan dagilimi (ya da
> parametrelerini demeli) kestirmek istiyorsunuz. Duzgun dagilimin tek
> parametresi dagildigi araligin uzunlugudur. Boyle bakilinca bu bir
> istatistiksel parametre kestirme problemidir, bunun icin "maximum
> likelihood", "maximum a posteriori" vs kavramlarindan tureyen kestirim
> yontemleri kullanilabilir. Sonucta yaptiginiz kestirim, asil dogru parametre
> degerine yapilan rasgele bir yaklasikliktir. Rasgele oldugu icin de aradaki
> hata da rasgele bir degiskendir. Hem rasgele kestirimin varyansi, hem de
> hatanin mutlak degeri ornek sayisi artikca azalir. Hatayi ustten sinirlayip,
> o ust siniri saglayan en az ornek sayisi isinizi gorebilir pratik bir yontem
> olarak. Tabi burda yumurta mi tavuktan tavuk mu yumurtadan durumu var,
> hatayi ancak dogru degeri biliyorsak tanimlayabiliriz, o zaman
> tanimlayamadigimiz seyi nasil ustten sinirlayacagiz? Bunun da yanitlari var
> elbet ancak bu mailden daha uzun bir tartisma gerektiriyor.
>
> Diger yandan "bu pratikte de duzgun dagilmis olmalarini istiyoruz" sozu cok
> anlamli degil. Ornegin akliniza ilk gelen kriteri -noktalarin arasindaki
> uzakligin 0.1'den fazla olmamasi- uyguladiginizda o dagilim artik duzgun
> dagilim olmus olmuyor, baska bir dagilim olmus oluyor.
>
> Diger bir nokta da [0,1]^n hiperkubune yapilan genellemeyle ilgili.
> Bu genellemeyle ilgili olarak en azindan sunu biliyoruz: belli bir uygulama
> icin "gereken" nokta sayisi, ya da hiperkubun her yerini doldurmak icin
> gereken nokta sayisi, boyut artikca "exponential" olarak artar - yani tek
> boyutta K nokta yetiyorsa, n boyutta nK nokta yeter gibi dogrusal bir iliski
> yok. Bu ayni zamanda istatistik literaturunde "curse of dimensionality"
> denilen hadisenin tezahurlerinden yalnizca biri.
>
> Ceyhun
>
> 2009/10/11 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>
>> Merhaba, bir sorum olacak. Aslinda matematik sorusu degil pek, daha cok
>> pratige yonelik. Ama belki bir fikir veren cikar.
>>
>> Ornegin, [0,1]x[0,1] karesinde uniform dagilimdan noktalar sectigimizi
>> dusunelim. Ama sectigimiz bu noktalarin pratikte de "duzgun dagilmis"
>> olmalarini istiyoruz. Kac nokta secmeliyiz? Ornegin 1 nokta secersek olmaz
>> herhalde. 2 nokta secersek de olmaz. 10 yeter mi, yoksa 100 tane mi
>> secmeliyiz? Kac nokta sececegimizi hangi kritere gore belirleyebiliriz? Bu
>> is icin kullanilan kriterler, ya da, "rule of thumb" gibi birtakim kurallar
>> var midir?
>>
>> Aklima ilk gelen kriter, "her nokta icin, en yakin noktanin uzakligi
>> 0.1'den fazla olmasin" olabilir ornegin. Bu sarti yuksek bir olasilikla
>> saglamak icin kac nokta secmek gerektigi nasil hesaplanir? Bu, [0,1]^n
>> hypercube'une nasil genellenir?
>>
>> Fazla hesap kitap gerektirmeyen baska kriterler ne olabilir?
>>
>> Tam cozum veya tam bir yanit istemiyorum elbette, her turlu fikire,
>> tavsiyeye acigim. Matematikcileri boyle "gercek hayat" sorulariyla mesgul
>> ediyorum galiba ama, kusura bakmayin :)
>>
>> Tesekkurler.
>>
>> Kerem
>>
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
>
> --
> Ceyhun Burak Akgul, PhD
> Marie Curie Research Fellow
> Video Processing and Analysis Group
> Philips Research Europe
>
> High Tech Campus 36, WOp122 (WO 01)
> 5656AE Eindhoven, The Netherlands
> Phone: +31 40 27 46156  Fax: +31 40 27 42630
> http://www.cba-research.com/
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20091012/9243bef8/attachment.htm