[MD-sorular] lineer uzayda bir kombinatoryal teorem

[Metin Odun]

Kanıtı anladım da uzun biraz. Daha kısası var, hatta kanıtın içinde kendini
belli ediyor bu kısalık. Da bu kısalıktan emin olamıyorum... Sorum da bu,
kısalıkta haklı mıyım?
*
Bilenler alttaki çizgiden sonrasını okuyabilir.

Biraz ön bilgi.* N noktalar kümesi, D doğrular kümesi olsun. U(N, D)'ye bir
uzay diyelim. d_j, D'nin elemanı, yani bir doğru. v_j, d_j doğrusunun nokta
sayısı. b=|D|, yani uzayın doğru sayısı. v=|N|, yani uzaydaki nokta sayısı.

*Tanım. *Aşağıdaki aksiyomları sağlayan uzaya bir *yaklaşık lineer uzay*denir. (
*YLU*)

YL1. Her doğru en az iki nokta kapsar.
YL2. Farklı iki noktadan en çok bir doğru geçer (Hiç geçmese de olur.)

*Tanım.* Yukarıdaki tanımda YL2 aksiyomundaki "en çok" yerine "tam (bir ve
yalnız bir)" alarak elde edilen uzaya bir lineer uzay (*LU*) diyelim.
(Linner uzayda boşta nokta kalmaz yani. Bu lineer uzay vektör uzayı olmak
zorunda değil, geometrideki lineer uzay bu.)

--------------

*Teorem.* U, sonlu bir *YLU*.

U, LU <=> (b_j üzerinden) Toplam [vj(v_j-1)]>= v(v-1)

Kanıtın sağdan sola kısmı uzun. Tüm kanıtın ana hatlarını aktarayım.

(=>) Fazlası doğru, eşitlik var. Şuradan çıkıyor: ToplamC(v_j, 2)=C(v,2),
çünkü lineer uzayda birleşmeyen nokta yok. (İki ile çarpmak kalıyor
sadece...)

(<=) v üzerinden tümevarımla U'nun bir LU olduğu kanıtlanıyor. Şöyle. v=1,
2, 3 durumlarında sorun yok. v>=4 farzediliyor. Eşitisizliğin v-1 noktalı
bir YLU için doğru iken v noktalı bir YLU için doğruluğu kabul ediliyor. v-1
noktalı N'=N\{N_i} uzayında eşitsizliğin doğru olduğu ise U' ve U
uzaylarında toplamların N'yi içeren ve içermeyen doğrulardan faydalanılarak
yazılmasıyla kolayca elde ediliyor.

Hatta buradan eşitlik sonucu çıkıyor! Yani,

U, sonlu bir *YLU*. U, LU <=> (b_j üzerinden) Toplam [vj(v_j-1)]= v(v-1)

oluyor. Zira U, LU iken eşitlik vardı. Eştisizlik varken de U, LU oluyor.
Demek ki sağdan sola geçerken eşitsizlik varken eşitlik oluyor.

*Kısalık olayı*... U bir pür YLU ise (LU olmayan bir YLU) (b_j üzerinden)
Toplam [vj(v_j-1)]<v(v-1) olur zira U'da birleşmeyen nokta var. Bunun karşıt
değili de ilk teoremin sağdan sola geçişidir zaten! Bu kadar kısa. Madem
ToplamC(v_j, 2)=C(v,2) derken "çünkü lineer uzay" diyor kanıtta, lineer uzay
değilse de ToplamC(v_j, 2)<C(v,2) derim, ToplamC(v_j, 2)>C(v,2) olacak hali
yok ya! Ama bunu da göremiyorum. Niye ToplamC(v_j, 2)>C(v,2) olmasın.

Yine de çok hoş bir tümevarım kanıtı olsa da "Ne gerek var tümevarıma?"
demek istiyorum.

"Milii takım oleyyyy. Aaaaa, biliii takıım oleeeyvvv. Biviv takım oley,
milli takım oleey. beşiktaşıım oleeeyyy. Beşiktaşım oley beşiktaşım oley.
Yeeeteeeer, Yıldırıımm Demirören yeeeeteerrrr. Yönetim istifaaaaaaa, aaaaaa
yönetim iiisstifaa, yönetim istiifaaaaa." "Hey! Dudup dup heeeyooooo heyy!
Du-dup-dum!"
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20091018/1dba91b0/attachment.htm