[MD-sorular] Secim Aksiyomu

9 Nis 2010 Cum 17:58:33 EEST

Merhaba,
Sonlu sayıda küme içeren kümelerde ve doğal sayılar gibi iyi-sıralanabilen kümelerden oluşan sonsuz da olsa kümelerde seçim fonksiyonu tanımlanabiliyor.
Ama örneğin, R nin boş olmayan tüm alt kümeleri gibi, hem sonsuz sayıda küme içeren ve hem de iyi-sıralanamayan kümeler içeren kümelerde seçim fonksiyonu tanımlanamıyor ve bazı teoremlerin ispatında doğruluğu varsayılıyor.

Burada bence matematiğin doğasına yönelik veya bizim onu yorumlamamıza/konumlandırmamıza yönelik çok acayip bir durum var. 
Zaman ve insan performansıyla ilgili bir kısıt oluşuyor. Sonuçta sonsuza kadar her bir kümeyi tek tek dolaşıp kartezyen çarpımlardan birini oluşturma şansımız olsa, sıralanamasa da o kümelerin kümesi için bir seçim fonksiyonu belirleme imkanımız var bunu uzay zaman içerisinde temsil edebilecek imkanlarımız olmasa bile.

İnşaacı okulun klasik okuldan ayrıldığı nokta burası sanırım.

Ayrıca bu belitin ZF belitlerinden bağımsız olduğu, bunlardan yola çıkılarak kendisinin veya değilinin ispatlanamayacağı da ispatlanmış Gödel tarafından.
Buna çok benzer bir belit de "GCH (Generalzied Continioum Hypothesis)" denilen Doğal sayıların kalabalıklığıyla , Reel sayıların kalabalıklığı arasında başka bir kalabalıklık ölçüsünün olmadığına ilişkin belit. Bu belit ve değili de ZF belitlerinden bağımsız. (Cohen)

Bu arada reel sayıların ve eşbiçimli yapıların bazı açık alt kümleri için iyi-sıralama yapılamaması çok ilginç.
Herhangi bir acayip iyi sıralama için de seçim belitine ihtiyaç olması sanki bir çemberi tamamlıyor.

Esenlikler.

-----Original Message-----
From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Ali Nesin
Sent: Wednesday, April 07, 2010 5:28 PM
To: Kerem Altun
Cc: Matematik Dunyasi
Subject: Re: [MD-sorular] Secim Aksiyomu

Sorun, R'nin belirli bir altkumesinden bir eleman secmek degil, her 
altkumesinden bir eleman secmek.
Yani P(R), R'nin bos olmayan altkumeler kumesiyse, oyle bir f : P(R) --> 
R fonksiyonu bulmalisiniz ki, R'nin her X altkumesi icin f(X), X'in bir 
elemani olsun.

Eger yanilmiyorsam su da dogru:
U = {{A, B} : A ve B, R'nin altkumeleri} olsun.
U'nun da Secim Beliti olmadan bir secim fonksiyonunu bulamazsiniz.
U'nun her elemani en fazla iki elemanli bir kume. Bu iki elemandan 
birini Tanri'nin eli olmadan secemiyorsunuz.
Sanirim...
A

Kerem Altun wrote:
> Bilmeden ahkam kesmek gibi olmasin ama, benim anladigim kadariyla 
> R'nin bos olmayan herhangi bir altkumesinden eleman secmek o kadar zor 
> degil herhalde. Yani sadece bir tane altkumesinden bahsediyorsak ve 
> dogru duzgun tanimli bir altkume ise bu (ki oyle olmali, zaten 
> altkumenin tanimi gibi birsey bu), o zaman eleman secilebilir. Bunu 
> her altkume icin bir kurala baglayamiyoruz sadece, cunku R'nin cok 
> altkumesi var.
>
> Ben boyle anladim, yaniliyor da olabilirim.
>
> Kerem
>
>
> 2010/4/7 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com 
> <mailto:tibetefendi at yahoo.com>>
>
>     Evet dogru tabi ya, infimum A'da olmayabilir. Ne düsünüyordum
>     bilmiyorum.
>
>     Cok ilgincmis ama gercekten.
>
>     Ben yine de buna inanmak istemiyorum. Yani biz simdi R'nin bos
>     olmayan herhangi bir altkümesinden bir eleman sececek tarifi
>     yapamiyor muyuz? Hic aklima yatmadi.
>
>     Bir de yazida söyle diyor: Böyle bir secim vardir ya da yoktur.
>     Varsa bile biz bu secim kuralini net bir sekilde matematikce
>     yazamayiz. Bunu kanitlamis Gödel.
>     Cok garip degil mi? Bence cok garip. Elemanlar orada duruyor. Biz
>     bir tanesini secemiyoruz. Sec iste birini gönlünce. :)
>
>     Matematik cok garip gercekten. Yani bu is icin ayri aksiyom
>     gerekecegi kirk yil düsünsem aklima gelmezdi.
>
>     tibet
>
>
>
>
>
>
>     --- On *Wed, 4/7/10, haydar göral /<hgoral at gmail.com
>     <mailto:hgoral at gmail.com>>/* wrote:
>
>
>         From: haydar göral <hgoral at gmail.com <mailto:hgoral at gmail.com>>
>         Subject: Re: [MD-sorular] Secim Aksiyomu
>         To: "tibet efendi" <tibetefendi at yahoo.com
>         <mailto:tibetefendi at yahoo.com>>
>         Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org
>         <mailto:md-sorular at matematikdunyasi.org>>
>         Date: Wednesday, April 7, 2010, 8:59 AM
>
>
>         Bir A kümesinin infimumu A da olmayabilir. Mesela A=(0,1)
>         aldığında, senin kural A'dan 0 elemanını seçiyor.
>          
>         haydar
>
>         2010/4/7 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com
>         <http://mc/compose?to=tibetefendi@yahoo.com>>
>
>             MD'nin 2003 kis sayisindaki
>             su http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF/03-I-29-31-SecimFonksiyonu.pdf yaziyi
>             okuyordum. Aklima bir sey takildi, sorayim dedim:
>             Örnek 6.'da diyor ki: P(R)*'deki her elemandan bir
>             elemanin nasil secilecegine dair bir kural bulamayiz.
>             Bana bulabilirmisiz gibi geldi.
>             Söyle yapsak: P(R)*'den bir eleman alalim. Buna A diyelim.
>             Sifir merkez olacak sekilde bir araligi sürekli büyütelim
>             ve A'ya "degdigi" yerdeki elemani (iki tane varsa pozitif
>             olani) secelim.
>
>             Yani matematikcesi su oluyor: A kümesinin elemanlarinin
>             mutlak degerlerini alalim. Bu elemanlardan olusan kümeye
>             |A| dielim. inf |A| = a olsun. Bu durumda ya a ya da -a,
>             A'nin bir elemanidir. Bunlardan birini secelim.
>             Nerede hata yapiyorum?
>
>             Bu arada ayni sayidaki Schröder-Bernstein yazisi harika
>             olmus. *Bes dakikada Schröder-Bernstein* gercekten! Beni o
>             yazida en cok heyecanlandiran sey su oldu: Cantor bu
>             soruyu sormus ama cevabini bulamamis. Cok büyük bir
>             matematikcinin kanitlayamadigi bir iddianin, lise
>             seviyesinde matematik bilen birinin yarim saatte
>             anlayabilecegi bir kaniti var.
>             Benim cok hosuma gitti bu durum nedense. Belki de büyük
>             matematikcilerin uzayli olmadigini gösterdigi icindir.
>
>             Benzer bir seyi daha önce de yasamistim. R^2'den R'ye bir
>             fonksiyonun eger her degiskende (teker teker bakildiginda)
>             sürekliyse kendisinin de sürekli olmasi gerektigini
>             sanmistim. Bilen biri bana öyle olmadigini söyleyip,
>             "nasil bilmezsin bunu, ilk dönemde ögretiyorlar" diyerek
>             bana akilsiz muamelesi yapmisti. (Basit bir karsi örnegi
>             var) Sonradan bir kitapta Cauchy'nin de ayni hatayi
>             yaptigini okudum. O da öyle saniyormus! Kanitlamaya gerek
>             bile duymamis. Yani benimle dalga gecen adam, karsisindaki
>             Cauchy olsa onunla da dalga gececekti. (esek)
>
>             Yani diyecegim odur ki matematikte tevazuyu elden
>             birakmamak gerekiyor. Bir seyi bir yerde gördük ögrendik
>             diye kendimiz bulmusuz gibi sahiplenip, bilmeyenlerle
>             dalga gecmemek gerekir. (He-Man cizgifilmlerinin son
>             sahnesinde He-man sahneye cikip cocuklara "bu bölümde sunu
>             ögrendik, böyle yapmamaliyiz, söyle yapmaliyiz" diye akil
>             verirdi. Ona benzedi biraz)
>
>             Neyse.
>
>             He-Man
>              
>
>
>
>             _______________________________________________
>             MD-sorular e-posta listesi
>             sorular at matematikdunyasi.org
>             <http://mc/compose?to=sorular@matematikdunyasi.org>
>             http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>
>
>     _______________________________________________
>     MD-sorular e-posta listesi
>     sorular at matematikdunyasi.org <mailto:sorular at matematikdunyasi.org>
>     http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
>

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

Bu elektronik posta ve onunla iletilen bütün dosyalar gizlidir ve sadece göndericisi tarafindan almasi amaçlanan yetkili gerçek ya da tüzel kisinin kullanimi içindir. Eger söz konusu yetkili alici degilseniz bu elektronik postanin içerigini açiklamaniz, kopyalamaniz, yönlendirmeniz ve kullanmaniz kesinlikle yasaktir ve bu elektronik postayi derhal silmeniz gerekmektedir. SAMPAŞ bu mesajin içerdigi bilgilerin dogrulugu veya eksiksiz oldugu konusunda herhangi bir garanti vermemektedir. Bu nedenle bu bilgilerin ne sekilde olursa olsun içeriginden, iletilmesinden, alinmasindan ve saklanmasindan sorumlu degildir. Bu mesajdaki görüsler yalnizca gönderen kisiye ait olup, her zaman SAMPAŞın görüslerini yansitmayabilir. Bu e-posta bilinen bütün bilgisayar virüslerine karsi taranmistir.

This e-mail and any files transmitted with it are confidential and intended solely for the use of the individual or entity to whom they are addressed. If you are not the intended recipient you are hereby notified that any dissemination, forwarding, copying or use of any of the information is strictly prohibited, and the e-mail should immediately be deleted. SAMPAS makes no warranty as to the accuracy or completeness of any information contained in this message and hereby excludes any liability of any kind for the information contained therein or for the information transmission, reception, storage or use of such in any way whatsoever.The opinions expressed in this message may belong to sender alone and may not necessarily reflect the opinions of SAMPAS. This e-mail has been scanned for all known computer viruses.