[MD-sorular] bir soru

[Gorkem Ozkaya]

Onsav 2 icin soyle bir kanit dusundum:

kesirli bir r >=1 icin

f(x) = |x|^r

fonksiyonunun disbukey oldugunu
gostermek istiyoruz.

basamak 1:
 her reel x, kesirli r sayilari icin

 (1 - rx) <= |1 - x|^r  olur.

 kanit:

 x [0,1] araligindayken bkz. MD 2008-II,
 sayfa 34, sav 2.

 x>1 icin apacik.

 x<0 icin  her iki tarafta parantez icleri iki pozitif
 sayinin toplami oluyor. r'yi m/n
 olarak yazip, her iki
 tarafin n'inci kuvvetlerini aldiktan
 sonra binom acimlarini karsilastirarak
 esitsizligin saglandigini gorebiliriz.


basamak 2:
 Her reel c sayisi icin oyle bir l_c (x)
 dogrusu vardir ki

 f(c) = l_c(c)

 ve  tum reel x'ler icin

 f(x) >= l_c(x)
 olur.

 kanit:

 basamak 1'deki ifadede x yerine (1-x/c)
 koyalim:

 r|c|^r*x/c + |c|^r(1-r) <= |x|^r

 elde ederiz.  x = c noktasinda esitlik saglanir.
 Bu sayede, esitligin sol tarafi aradigimiz
 l_c(x) dogrusudur.


basamak 3:
 f(x) = max_c {l_c(x)}'e esittir ve bu sayede
 disbukeydir.

 kanit:

 Esitlik basamak 2'nin sonucudur.

 l_c'ler, dogru olduglari icin disbukeydir.
 Disbukey fonksiyonlarin maksimumu da disbukeydir:

 f((1-t)a + tb) = max_c {l_c((1-t)a + tb)}
                <= max_c {(1-t)l_c(a) +t l_c(b)}
                <=  max_c {(1-t)l_c(a)} +max_c{t l_c(b)}
                = (1-t) f(a) + t f(b).





2010/4/11 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>

> Gecen MD'de bir esitsizligi kanitlarken yanlis yapmisim.
> Sayfa 20, Onsav 2'nin kaniti yanlis.
> Duzeltemiyorum da...
> Amac, r, 1'den buyukesitken, x'i x'in mutlak degerinin r'inci kuvvetine
> goturen fonksiyonun disbukey, yani avcunu yukarı acmis bicimde oldugunu
> kanitlamak.
> Bunu once Onsav 2'de r kesirli bir sayiyken yapmaya calisiyorum. Sonra
> Teorem 3'te sureklilikten yararlanarak tum r'ler icin kanitliyorum.
> Onsav 2'yi kanitlamak icin su soruyu kanitlamak gerektigini goruyorum:
> t ve y, 0 ile 1 arasinda iki sayiysa ve p bir dogal sayiysa,
> f(p) = ((1-t)y^p + t)^{1/p}
> olsun. O zaman
> f(p) < f(p+1)
> olur.
> Iste bu son onermeyi kanitlayamadim. Aranizda bunu kanitlayabilecek olan
> var mi?
> Turev yasak!
> Ben p = 2 icin bile kanitlayamadim!
> Birazdan MD'nin o yazisinin pdf'ini de yollayacagim ama biliyorsunuz once
> grubumzun agasinin onayi gerekiyor, gelmesi zaman alabilir yani.
> A
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100414/6c6c87fd/attachment.htm>