[MD-sorular] periyodik fonksiyon sorusu perişanlıktan kurtuldu

[Murat Davman]

Sayın Kerem Altun,
ilginiz için çok teşekkür ederim,
kanıtınızı okudum, inceledim,
bana biraz karışık, muğlak gibi gözüktü
/derim affolunmak umuduyla.
Murat Davman
.
Ben ise bu konuda şöyle derim,
MD liste sayın üyelerinin
hakemliğine arzen;
.
f(x) = cos(ax) + cos(bx) fonksiyonu ancak ve ancak a/b rasyonel iken
yani a ve b aralarında orantılı iken peryodik olur, 
bence bu aşikar denilecek kadar apaçık.
Bu işin fiziksel yorumundan da yararlanarak şöyle bir
akıl yürütebiliriz diyorum:
a ve b sayıları açısal frekanslar, x zaman olarak alınırsa,
T_a = 2*pi/a peryotlu cos(ax) fonksiyonu/salınımı ile
T_b = 2*pi/b peryotlu cos(bx) fonksiyonu/salınımı,
a ve b rasyonel sayılarının E(en)K(küçük)O(ortak)K(kat)'ı olan
EKOK[a,b] değerine tekabul eden sürede bu salınımlar, kesirsiz/tam sayıda
olarak gerçekleşir. 
Dolayısı ile süperpoze salınım da peryodik olur.
Karşıt olarak her iki salınımın tam sayıda oluşması
salınım frekanslarının birlikte ölçülebilir/ kadim Grek matematikçilerin
parlansı ile commensurable olmasını gerektirir. 
Bir diğer fiziksel fenomen, dalga oluşumu'dur. 
Bu kez a ve b, L_a = 2*pi/a ve L_b = 2*pi/b olarak
dalga boylarına tekabül eder, x ise mesafe'dir, dalganın aldığı yol
anlamında.
Şimdi soralım, belirli bir mesafede bu iki süperpoze dalganın
tam sayıda 'büklümlü' olmaları için dalga sıklığını belirten
a ve b sayılarına
oransal olmaktan başka yaşam hakkı var mıdır ?
------
Date: Sun, 18 Apr 2010 15:31:05 +0300
Subject: Re: periyodik fonksiyon sorusu henüz per perişan
From: kerem.altun at gmail.com
To: murat.davman at hotmail.com
CC: md-sorular at matematikdunyasi.org
Tabii burada tek yonlu kanitladim, ama otekinin kaniti daha kolay. 
En kucuk ortak katlari dusununce f(x) = f(x+T) yi saglayan 
bir T bulunabiliyor.
Bu arada daha fazlasi dogru galiba:
f(x) ve g(x) periyodik fonksiyonlar olsun, periyotlari da sirasiyla
T ve S olsun.
Sanirim h(x) = f(x) + g(x) fonksiyonu ancak ve ancak T/S rasyonel ise
periyodiktir.
Ama bunun kaniti beni asar galiba. Fourier serisi falan kullanmadan
kanitlamaktan bahsediyorum.
Kerem
2010/4/18 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
Bir matematikci gibi kanitlayamayabilirim ama yazayim.
f(x) = cos(ax) + cos(bx) periyodikse a/b'nin illa ki rasyonel oldugunu
kanitlayacagiz. a = 0 ya da b = 0 gibi dejenere durumlari bir kenara 
birakalim.
Her x icin f(x) = f(x+T) esitligini saglayan bir T sayisi varsa
fonksiyon periyodiktir denir.
Bu varsayimdan yola cikiyoruz. x = 0 icin f(x) = 2 olur. 
Demek ki 0'dan farkli bir T sayisi icin 
f(T) = cos(aT) + cos(bT) = 2 olmali.
Iki cos toplaminin 2 olmasi icin her ikisinin de 1 olmasi gerekir.
cos(aT) = 1 ise her k \in Z icin T = 2k*pi/a olur.
cos(bT) = 1 ise her m \in Z icin T = 2m*pi/b olur.
Her iki denklemden de (sifirdan farkli olarak) ayni T'yi bulabilmemiz
icin a/b rasyonel olmalidir.
Kerem
----
2010/4/18 Murat Davman <murat.davman at hotmail.com> yazdı:)
Sayın Kerem Altun
14 Nisan iletime sizden ses çıkmadı,
 niçin ?
periyodik fonksiyon sorusu henüz per perişan
hala per perişan
zorlamacılık olmasın amma,
kanıtı gerçekten ben pek merak ettim,
lütfederseniz sevinirim,
hem belki ortamdaki genç üyeler de
yararlanırlar,
her zaman olduğu gibi ilminizden,
irfanınızdan.
.
Atalarımız ne demişler ?
ilmin zekatı öğretmektir.
Ben Muzır Çocuk,
Murat Davman
.
--------------------------------------------------------------------------------
From: murat.davman at hotmail.com
To: kerem.altun at gmail.com; md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: RE : Re: [MD-sorular] periyodik fonksiyon
Date: Wed, 14 Apr 2010 16:43:23 +0300

Sayın Kerem Altun,
1)kanıtı bulmuşsunuz,
ancak bu sırrı bizden saklamışsınız,
ya çok basit gördüğünüz için bizlere
iletilmeye değmez buldunuz,
ya da /affınıza yaslanarak söylüyorum/
buldum dediğiniz kanıtı siz de beğenmediniz.
2)sanırım bu problemin arka bahçesinde
fiziksel bir motivasyon var,
durup dururken pür matematik/pir aşkına
ortaya atılacak bir soru değil,
zira matematiğin doğal/tarihsel akışı
içinde değil,
bir anlamda kıyıda köşede kalmış bir
mes'ele gibi, gözüküyor.
Haydi biraz daha saygılı olalım der isek
kıyıda köşede kalmış yerine
ad hoc = kendine özgü 
diyelim.
Latince 'ad hoc' terimini karşılamaz amma
latife yollu 'başına buyruk' hatta 'başıbozuk' demekten de
kendimi /her nedense
alakoyamıyorum.
Sayın Kerem Bey
1 ve 2 de sorulanları
yani şunları
1 kanıt,
2 fiziksel yön,
lütfedip yanıtlarsanız
sevinirim.
.
Esenlikler Dileklerimle,
Murat Davman
--------------------------------
From: kerem.altun at gmail.com
To: MD-sorular at matematikdunyasi.org
Date: Tue, 13 Apr 2010 23:55:47 +0300
Subject: [MD-sorular] periyodik fonksiyon
Merhaba,
f(x) = cos(ax) + cos(bx) fonksiyonunun ancak ve ancak a/b rasyonelken 
periyodik oldugu dogru mudur? Rasyonelken periyodik oldugu bariz de,
periyodik ise illa ki rasyonel olacagi cok bariz degil benim icin.
Dogruysa bu nasil kanitlanir? Tesekkurler.
Kerem
------------------------------------
From: kerem.altun at gmail.com
To: MD-sorular at matematikdunyasi.org
Date: Wed, 14 Apr 2010 00:02:02 +0300
Subject: Re: [MD-sorular] periyodik fonksiyon
Soruyu buraya yazar yazmaz kaniti buldum, kolaymis. 
Listenin bir hikmeti olsa gerek. Yani mesaji dikkate almayin. 
Tesekkurler.
Kerem

 
 		 	   		  
_________________________________________________________________
Windows Live Hotmail: Arkadaşlarınız Facebook'taki güncellemelerinizi doğrudan Hotmail®'den alır.
http://www.microsoft.com/windows/windowslive/see-it-in-action/social-network-basics.aspx?ocid=PID23461::T:WLMTAGL:ON:WL:tr-tr:SI_SB_4:092009
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100418/6cb1c126/attachment.htm>