[MD-sorular] kaç elde biter

[Kerem Altun]

Oyunun herhangi bir aninda birinci oyuncunun parasi a, ikincininki b olsun.
Oyuncularin paralarini (a,b) seklinde gosterelim.

Oncelikle su soruyu yanitlayalim. Kac farkli durum olabilir?

(10,10) baslangic durumu. Birinci oyuncu hep kazanirsa (11,9), (12,8), ...,
(20,0) gibi 10 farkli durum olabilir. Ikinci oyuncu hep kazanirsa da ayni
sekilde 10 farkli durum olabilir. Demek ki 21 farkli durum var.

Bir durumu tek bir sayiyla da gosterebiliriz. a-b sayisi bu durumlarin
hepsinde farkli. (a,b) durumunu D_{a-b} ile, bu durumda beklenen bitme
zamanini t_{a-b} ile gosterebiliriz. Ornegin baslangic durumunda beklenen
bitme zamani t_0 olacak.

Elimizde 21 adet t_k bilinmeyeni var, k, -20'den 20'ye cift sayi degerlerini
alabilir.

Aslinda iki tanesini biliyoruz: t_{20} = t_{-20} = 0.

Simdi herhangi bir D_k durumu icin dusunelim. 1/2 olasilikla D_{k-2}
durumuna, 1/2 olasilikla D_{k+2} durumuna gececegiz. Yani,

t_k = 1 + 1/2(t_{k-2}) + 1/2(t_{k+2})

Bu denklemde k, -18 ile 18 arasindaki cift sayi degerlerini alabilir.
Adimlari birer birer saydigimiz icin yukaridaki denklemde 1 ekledik.

Bunu bir lineer denklem sistemi olarak yazip cozerseniz t_0 = 100 cikiyor.

Yanita bakinca daha kolay bir yolu olmali gibi geliyor ama ben bulamadim
malesef.

Kerem


2010/4/18 haydar göral <hgoral at gmail.com>

> İki oyuncunun oynadığı yazı-tura oyununda yazı gelirle 2. oyuncu 1.
> oyuncuya 1 lira ,tura gelirse de tam tersi olsun.
>
> Başlangıçta her iki oyuncuda da 10 lira varsa, bu oyunun bitmesi için
> beklenen el sayısı nedir?
>
> Haydar
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100418/a44de23b/attachment.htm>