[MD-sorular] kaç elde biter

[tibet efendi]

Benim arkadasin buldugu formül su sekilde.olaya bir random walk olarak bakiyor. sekildeki gibi http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk
Baslangic noktasina i diyor. (bizde i=0, cünkü ayni parayla oyuna basliyorlar.) Oyunun bitis süresi icin beklenti degerine E diyor. Üst sinira a diyor, alt sinira b diyor (bizde a=10, b=-10)
Yani bir asagi bir yukari yazi-tura atarak, zikzaklar cizerek koordinat sisteminde ilerliyoruz. 10 ve -10 arasinda kalan seridi terkettigimiz adimin beklenti degerini soruyor soruda.
Oyunun bitis aninda cizgimizin seridi a'dan terketme ihtimaline A, b'den terketme ihtimaline B diyor. (bizde olay simetrik oldugundan A=B=1/2) Ve su formülü buluyor: (nasil buldugunu da anlatti da anlamadim. isin icine martingale girdi)
i^2= a^2*A + b^2*B - E
Bizde bu formülden cat diye 100 cevabi cikiyor.
Cok basit bir formül. A ve B'yi hesaplamak simetrik olmayan durumlarda cok kolay degilmis ama onun da güzel bir yöntemi varmis.
tibet

--- On Sun, 4/18/10, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> wrote:

From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
Subject: Re: [MD-sorular] kaç elde biter
To: "tibet efendi" <tibetefendi at yahoo.com>
Cc: "haydar göral" <hgoral at gmail.com>
Date: Sunday, April 18, 2010, 9:51 PM

Ekte t_k'nin k'ya gore degisimini gosteren grafigi gonderiyorum. Ayrik noktalarin dogru ile birlestirilmis hali bu. Parabole benziyor.

Benim yazdigim matris formulasyonuna Ax = b dersek, cozumde cikan A matrisi bilinen "second difference" matrisi, yani ikinci turevi yaklasik olarak modelleyen bir matris. b vektoru de sabit 1'lerden olusan bir vektor. Yani bu denkleme bakarak x bilinmeyeninin ikinci turevini sabit olarak gorebiliriz. Sonra da muhendisce bir yaklasimla, x'in bir parabolu temsil edecegini soyleyebiliriz.


Belki a^2 de o sekilde cikiyordur.

Kerem



2010/4/18 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>


Ev arkadasim istatistikci. Ona sordum bu soruyu. "Martingale" denen bir seyle hesap yapti. Yaptigi hesabi anlamadim. Ama cevap 100 cikiyor. :)
Hatta söyle bir sey söyledi. Iki oyuncu da a lirayla baslarsa oyunun bitisi icin beklenti degeri hep a^2 oluyormus. Buldugu formül de minicik bir sey. Yani denklem sistemi cözmüyor.

Ama anlatamadi bana, cünkü bu martingale isleri karisikmis.http://en.wikipedia.org/wiki/Martingale_(probability_theory)

tibet
--- On Sun, 4/18/10, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> wrote:


From: Kerem Altun
 <kerem.altun at gmail.com>
Subject: Re: [MD-sorular] kaç elde biter
To: "haydar göral" <hgoral at gmail.com>

Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Sunday, April 18, 2010, 8:45 PM


Oyunun herhangi bir aninda birinci oyuncunun parasi a, ikincininki b olsun. Oyuncularin paralarini (a,b) seklinde gosterelim.

Oncelikle su soruyu yanitlayalim. Kac farkli durum olabilir?

(10,10) baslangic durumu. Birinci oyuncu hep kazanirsa (11,9), (12,8), ..., (20,0) gibi 10 farkli durum olabilir. Ikinci oyuncu hep kazanirsa da ayni sekilde 10 farkli durum olabilir. Demek ki 21 farkli durum var.



Bir durumu tek bir sayiyla da gosterebiliriz. a-b sayisi bu durumlarin hepsinde farkli. (a,b) durumunu D_{a-b} ile, bu durumda beklenen bitme zamanini t_{a-b} ile gosterebiliriz. Ornegin baslangic durumunda beklenen bitme zamani t_0 olacak.



Elimizde 21 adet t_k bilinmeyeni var, k, -20'den 20'ye cift sayi degerlerini alabilir.

Aslinda iki tanesini biliyoruz: t_{20} = t_{-20} = 0.

Simdi herhangi bir D_k durumu icin dusunelim. 1/2 olasilikla D_{k-2} durumuna, 1/2 olasilikla D_{k+2} durumuna gececegiz. Yani,



t_k = 1 + 1/2(t_{k-2}) + 1/2(t_{k+2})

Bu denklemde k, -18 ile 18 arasindaki cift sayi degerlerini alabilir. Adimlari birer birer saydigimiz icin yukaridaki denklemde 1 ekledik.

Bunu bir lineer denklem sistemi olarak yazip cozerseniz t_0 = 100 cikiyor.



Yanita bakinca daha kolay bir yolu olmali gibi geliyor ama ben bulamadim malesef.

Kerem


2010/4/18 haydar göral <hgoral at gmail.com>


İki oyuncunun oynadığı yazı-tura oyununda yazı gelirle 2. oyuncu 1. oyuncuya 1 lira ,tura gelirse de tam tersi olsun.


 
Başlangıçta her iki oyuncuda da 10 lira varsa, bu oyunun bitmesi için beklenen el sayısı nedir?
 
Haydar

_______________________________________________

MD-sorular e-posta listesi

sorular at matematikdunyasi.org

http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular



-----Inline Attachment Follows-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org

http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular



      




      
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100418/a4a0e87a/attachment.htm>