[MD-sorular] seçim beliti

[Burak Kaya]

Eğer ders kitabı arıyorsanız sanırım Kenneth Kunen'in Set Theory: An
Introduction to Independence Proof kitabı bir klasik bu konuda. Kümeler
teorisi ile ilgili temel olan ne var ne yoksa bulabilirsiniz burada.

Bunun dışında Paul Cohen'in kendi yazdığı Set Theory and the Continuum
Hypothesis adlı kitap da bu konularla ilgili temel şeylere başlamak için iyi
bir kitap. Cohen kitapta matematiksel mantıkla ilgili temelleri ve bazı
teoremleri (completeness, compactness, löwenheim-skolem, incompleteness)
kanıtladıktan sonra ZF'yi genel olarak özetliyor ve sonra da AC ve GCH'nin
ZF'den bağımsızlığını kanıtlıyor (Gödel'in kanıtı da dahil olmak
üzere). Tabi bu kitabın şöyle küçük bir sorunu var: Forcing kavramı
Cohen'den sonra da iyice araştırılıp "modern"leştirildiği için, yapılan
şeyin özündeki fikir aynıysa da Kunen'in kitabında bulacağınız forcing ile
Cohen'in kitabındaki arasında formal olarak fark olacaktır. Bu nedenle
Cohen'in kitabını textbook olarak görmek çok faydalı değil.

04 Ağustos 2010 14:19 tarihinde <algebraistt at gmail.com> yazdı:

> Özür dilerim, dergiyi iyi okumamışım, tekrar baktım ve yanıt dergide var.
> AC'nin bağımsızlığı Gödel ve Cohen tarafından kanıtlanmış. Gödel, ZF
> çelişkisizse ZFC'nin de çelişkisiz olduğunu ve Cohen ZF çelişkisizse ZF(*~
> *C)'nin çelişkisiz olduğunu kanıtlamış. Bunlar dergide yazıyor, sayfa
> 22. İkisini birleştirince C, ZF'den bağımsız oluyor. Son noktayı koyan
> Cohen'miş o zaman.
> http://plato.stanford.edu/entries/axiom-choice/#IndConAxiCho adresinde
> Cohen'in forcing denen şeyi kullandığı yazıyor. Cohen'den önce de
> Fraenkel bir girişimde bulunmuş. Ve Wikipedia'ya göre de forcing denen şeyi
> ilk kullanan Cohen'miş. Doğrusu bu forcing, model teorisi, logic vb. dergi
> düzeyine iner mi merak ediyorum. Okumak isterdim doğrusu. (Şu anda tekrar
> bakıyorum da bu merakımdan da vazgeçtim çünkü yukarıdaki teoremleri
> kanıtlamanın derginin amacını kat kat aşacağı yazılı dergide, sayfa 23'te.)
>
> ..This argument shows that collections of *sets of atoms* need not
> necessarily have choice functions, but it fails to establish the same fact
> for the “usual” sets of mathematics, for example the set of real numbers.
> This had to wait until 1963 when Paul Cohen showed that it is consistent
> with the standard axioms of set theory (which preclude the existence of
> atoms) to assume that a countable collection of pairs of sets of real
> numbers fails to have a choice function. The core of Cohen's method of proof
> — the celebrated method of *forcing* — was vastly more general than any
> previous technique; nevertheless his independence proof also made essential
> use of permutation and symmetry in essentially the form in which Fraenkel
> had originally employed them.
>
> Gödel's proof of the relative consistency of *AC* with the axioms of set
> theory (see the entry on Kurt Gödel<http://plato.stanford.edu/entries/goedel/>)
> rests on an entirely different idea: that of *definability*. He introduced
> a new hierarchy of sets — the *constructible* hierarchy — by analogy with
> the cumulative type hierarchy. We recall that the latter is defined by the
> following recursion on the ordinals, where P(*X*) is the power set of *X*,
> α is an ordinal, and λ is a limit ordinal::
>
>
> 04 Ağustos 2010 01:25 tarihinde Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org> yazdı:
>
>
>> Kumeler kuraminin oyle bir modelini buluyorsun ki ZF dogru oluyor ama
>> Secim Aksiyomu yanlis oluyor ve soyledigin turden bir secim fonksiyonu
>> bulunamiyor.
>> Forcing denilen yontemle yapilir bunlar.
>> Kunen'in kitabinda forcing anlatiliyor ama soyledigin teorem kanitlaniyor
>> mu emin degilim.
>> A.
>>
>> algebraistt at gmail.com wrote:
>>
>>> Merhaba. Dergiyi pek takip edemiyorum ama bir sayıdaki yazılar ilgimi
>>> çekti. Reel sayıların alt kümelerinden (boştan farklı) eleman seçmek için
>>> seçim beliti gerekiyormuş. Bunun gerekliliğini hangi makalede bulabiliriz?
>>> Yani, seçim belitine bazı durumlarda illa gerek olduğunu kim kanıtlamıştır,
>>> ve ne zaman? Bu sorunun yanıtı konusunda yardımcı olabilecek kimse vardır
>>> burada zannımca. Teşekkür ederim.
>>> ------------------------------------------------------------------------
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>
>>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>



-- 
B.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100804/2e6ae175/attachment.htm>