[MD-sorular] kardinalite

[Burak Kaya]

İlk sorunuzun yanıtı pozitif. Şöyle ki:

Teorem: Kappa sonsuz bir kardinal olsun. Elimizde kappa ile indekslenmiş bir
{A_alpha}_alpha \in kappa kümeler ailesi olsun ve her alpha için
card(A_alpha)<=kappa olsun. O zaman card(Union A_alpha)<=kappa.

Kanıt: Her alpha için card(A_alpha)<=kappa olduğuna göre her alpha için öyle
bir g_alpha vardır ki g_alpha: kappa -> A_alpha örtendir. Şimdi şu
fonksiyonu tanımlayalım.

h: kappa x kappa -> Union A_alpha
(beta,gamma) -> g_gamma (beta)

h'nin örten olduğu bariz. h örten olduğuna göre, card(kappa x kappa) >=
card(Union A_alpha). Sonsuz kardinaller için card(kappa x kappa)=kappa
olduğundan dolayı (bunu göstermek biraz uğraştırabilir, kanıtı şu an ben de
hatırlamıyorum ama kardinal aritmetiğinde iki kardinalin çarpımı maksimum
olana eşittir, MD'de yapılmış olabilir belki kanıt emin değilim), card(Union
A_alpha)<=kappa.

Şimdi sizin sorduğunuz soruya dönelim. A_n'ler arttığından dolayı card(B)
sonsuz olmalı, card(B)>=Aleph_0.

Eğer card(B)=Aleph_0 ise yukarıdaki teoremi direk olarak uygulayarak
card(Union A_n)<Aleph_0=card(B) olduğunu gösterebilirsiniz.

Eğer card(B)>Aleph_0 ise, B_n=A_n, eğer n < Aleph_0;B_n = A_n U {n} eğer
Aleph_0<=n<card(B) şeklinde card(B) ile indekslenmiş bir kümeler ailesi
tanımlayarak (bunu sadece teoremin koşullarına harfi harfine uyup elimizde
card(B) ile indekslenmiş bir kümeler ailesi olsun diye yapıyoruz) teoremi
uygulayabilir ve card(Union A_n) <= card (Union B_n) <= card(B) elde
edebilirsiniz.

Şu an için bir yanlış göremiyorum, eğer bir şeyler atladıysam birisi
düzeltsin.

Burak.

22 Ağustos 2010 16:57 tarihinde Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com> yazdı:

> İkinci sorunuzun yanıtı negatif, şöyle ki:
>
> A_n kümelerini tüm sayılabilir ordinaller ile indeksleyelim, yani indeks
> kümemiz ilk sayılamaz ordinal, omega_1. A_alpha da alpha'nıncı ordinal, yani
> alpha'nın kendisi olsun! O zaman her alpha \in omega_1 için
> card(A_alpha)<=Aleph_0 olduğu halde card (Union_{k \in omega_1} A_k =
> omega_1) = Aleph_1 > Aleph_0 olacaktır.
>
> Üçüncü sorunuza gelirsek, A_n'lerin iç içe geçme koşulu da zorunlu.
> İndekslemeyi doğal sayılar üzerinden yapın ve A_n={n} ve B={0} alın.
>
> İlk sorunuz için bir şey gelmedi aklıma ne yazık ki, karşı örnek aradım
> lakin bulamadım. Sayılabilirlikten dolayı doğru olacak gibi duruyor. Biraz
> daha düşüneyim :).
>
> 22 Ağustos 2010 15:50 tarihinde haydar göral <hgoral at gmail.com> yazdı:
>
>> Merhaba arkadaşlar, kardinalite ile ilgili bir sorum var :
>>
>> A1<A2....<An<... sayılabilir tane iç içe geçmiş artan küme dizisi ve
>> card(An) <= card(B) tüm n doğal sayıları için.
>> Demek ki tüm n doğal sayısı için fn fonksiyonu var 1-1 ve fn: An->B.
>>
>> Burdan birleşimAn kümesinin kardinalitesinin de B'nin kardinalitesinden
>> küçük olduğunu söyleyebilir miyiz?
>>
>> Diğer bir soruda şu: burada içi içe geçmiş kümelerden sayılabilirtane
>> aldık, yani N ile indisledik. Bu koşulu herhangi iyi sıralı bir küme ile
>> yapabilir miyiz?
>>
>> İç içe artan bir dizi olma koşulu gerekli mi?
>>
>> Haydar
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
>
> --
> B.
>



-- 
B.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100822/4e0cb06a/attachment.htm>