[MD-sorular] kardinalite

Burak Kaya burakvonkaya at gmail.com
25 Ağu 2010 Çar 00:53:01 EEST


Aslında, kardinalitenin tanımını, card(X), X ile arasında eşleme olan en
küçük ordinal sayıdır, şeklinde yaparsanız, her kümenin bir kardinal
sayısının olduğunu söylemek için bile seçim beliti gerekli (seçim beliti
doğruysa her küme iyi sıralanabilirdir, iyi sıralı her küme bir ordinale
"order-isomorphic"tir, bir kümeyle arasında eşleme olan bir ordinal varsa bu
ordinallerin en küçüğü de vardır).

Söylediğiniz şeyle ilgili bir şey takıldı kafama. Sanki seçim beliti olmadan
da yapabiliyoruz gibi. Şimdi A'dan B'ye birebir bir f fonksiyonu olduğu
veriliyor bize. A boş değilse en az bir elemanı olduğunu biliyoruz, rastgele
bir elemanını alıp -x diyelim buna- şu bağıntıyı tanımlarsanız g={(a,b) \in
BxA | (b,a) \in f} U {(b,x) | b \in B-f[A]} bu size B'den A'ya örten bir
fonksiyon verecektir. Yani fonksiyonu tersine çevirdik, B'de açıkta kalan
elemanları da A'da var olduğunu bildiğimiz sabit bir elemana yolladık. Boş
olmayan bir kümeden bir eleman almak için seçim belitine ihtiyacınız yok :).

24 Ağustos 2010 13:21 tarihinde haydar göral <hgoral at gmail.com> yazdı:

> Cevap icin tesekkurler.
>
>  Burada birsey daha sormak istiyorum : secim aksiyomu bu teoremi kanitlamak
> icin gerekiyor mu?
>
> Sanki gerekiyor gibi cunku B den diger kumelere giden bircok orten
> fonksiyon var.Biz de bunlardan birini seciyoruz.
>
> Haydar
>
> 2010/8/23 Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com>
>
> İlk sorunuzun yanıtı pozitif. Şöyle ki:
>>
>> Teorem: Kappa sonsuz bir kardinal olsun. Elimizde kappa ile indekslenmiş
>> bir {A_alpha}_alpha \in kappa kümeler ailesi olsun ve her alpha için
>> card(A_alpha)<=kappa olsun. O zaman card(Union A_alpha)<=kappa.
>>
>> Kanıt: Her alpha için card(A_alpha)<=kappa olduğuna göre her alpha için
>> öyle bir g_alpha vardır ki g_alpha: kappa -> A_alpha örtendir. Şimdi şu
>> fonksiyonu tanımlayalım.
>>
>> h: kappa x kappa -> Union A_alpha
>> (beta,gamma) -> g_gamma (beta)
>>
>> h'nin örten olduğu bariz. h örten olduğuna göre, card(kappa x kappa) >=
>> card(Union A_alpha). Sonsuz kardinaller için card(kappa x kappa)=kappa
>> olduğundan dolayı (bunu göstermek biraz uğraştırabilir, kanıtı şu an ben de
>> hatırlamıyorum ama kardinal aritmetiğinde iki kardinalin çarpımı maksimum
>> olana eşittir, MD'de yapılmış olabilir belki kanıt emin değilim), card(Union
>> A_alpha)<=kappa.
>>
>> Şimdi sizin sorduğunuz soruya dönelim. A_n'ler arttığından dolayı card(B)
>> sonsuz olmalı, card(B)>=Aleph_0.
>>
>> Eğer card(B)=Aleph_0 ise yukarıdaki teoremi direk olarak uygulayarak
>> card(Union A_n)<Aleph_0=card(B) olduğunu gösterebilirsiniz.
>>
>> Eğer card(B)>Aleph_0 ise, B_n=A_n, eğer n < Aleph_0;B_n = A_n U {n} eğer
>> Aleph_0<=n<card(B) şeklinde card(B) ile indekslenmiş bir kümeler ailesi
>> tanımlayarak (bunu sadece teoremin koşullarına harfi harfine uyup elimizde
>> card(B) ile indekslenmiş bir kümeler ailesi olsun diye yapıyoruz) teoremi
>> uygulayabilir ve card(Union A_n) <= card (Union B_n) <= card(B) elde
>> edebilirsiniz.
>>
>> Şu an için bir yanlış göremiyorum, eğer bir şeyler atladıysam birisi
>> düzeltsin.
>>
>> Burak.
>>
>> 22 Ağustos 2010 16:57 tarihinde Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com>yazdı:
>>
>> İkinci sorunuzun yanıtı negatif, şöyle ki:
>>>
>>> A_n kümelerini tüm sayılabilir ordinaller ile indeksleyelim, yani indeks
>>> kümemiz ilk sayılamaz ordinal, omega_1. A_alpha da alpha'nıncı ordinal, yani
>>> alpha'nın kendisi olsun! O zaman her alpha \in omega_1 için
>>> card(A_alpha)<=Aleph_0 olduğu halde card (Union_{k \in omega_1} A_k =
>>> omega_1) = Aleph_1 > Aleph_0 olacaktır.
>>>
>>> Üçüncü sorunuza gelirsek, A_n'lerin iç içe geçme koşulu da zorunlu.
>>> İndekslemeyi doğal sayılar üzerinden yapın ve A_n={n} ve B={0} alın.
>>>
>>> İlk sorunuz için bir şey gelmedi aklıma ne yazık ki, karşı örnek aradım
>>> lakin bulamadım. Sayılabilirlikten dolayı doğru olacak gibi duruyor. Biraz
>>> daha düşüneyim :).
>>>
>>> 22 Ağustos 2010 15:50 tarihinde haydar göral <hgoral at gmail.com> yazdı:
>>>
>>>>  Merhaba arkadaşlar, kardinalite ile ilgili bir sorum var :
>>>>
>>>> A1<A2....<An<... sayılabilir tane iç içe geçmiş artan küme dizisi ve
>>>> card(An) <= card(B) tüm n doğal sayıları için.
>>>> Demek ki tüm n doğal sayısı için fn fonksiyonu var 1-1 ve fn: An->B.
>>>>
>>>> Burdan birleşimAn kümesinin kardinalitesinin de B'nin kardinalitesinden
>>>> küçük olduğunu söyleyebilir miyiz?
>>>>
>>>> Diğer bir soruda şu: burada içi içe geçmiş kümelerden sayılabilirtane
>>>> aldık, yani N ile indisledik. Bu koşulu herhangi iyi sıralı bir küme ile
>>>> yapabilir miyiz?
>>>>
>>>> İç içe artan bir dizi olma koşulu gerekli mi?
>>>>
>>>> Haydar
>>>>
>>>> _______________________________________________
>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> B.
>>>
>>
>>
>>
>> --
>> B.
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>


-- 
B.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100824/53db55a5/attachment.htm>


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi