[MD-sorular] löbek integral

[Gorkem Ozkaya]

Onceki mesaja ek:  a'dan b'ye integral (sin nx)^n 'in 0'a gittiginin
kaniti.  Genelligi kaybetmeden icerisinin mutlak degerini alalim.
 Degisken degistirerek

\int_a^b |sin nx|^n dx = (1/n) \int_{na}^{nb} |sin y|^n dy.

Oyle bir c secelim ki pi*c>=max{|a|,|b|} olsun.  O zaman

(1/n) \int_{na}^{nb} |sin y|^n dy <= (1/n) \int_{-n pi c}^{n pi c} |sin y|^n
dy

olur.  Icerdeki fonksiyon |sin y|^n,  periyodu pi olan periyodik fonksiyon
oldugu icin, bu son integralin degeri, tek bir periyodun uzerindeki
integralin 2cn kati olur:

(1/n) \int_{-n pi c}^{n pi c} |sin y|^n dy = (2c) \int_0 ^{pi} |sin y|^n
dy.

Integralin icerisi 0'a noktasal olarak yakinsar. Dominated convergence
theorem ile, limitin 0 oldugu sonucu cikar.



2010/12/13 Gorkem Ozkaya <gorkemozkaya at gmail.com>

> a'dan b'ye (sin(nx))^n 'in 0'a gittigini dusunuyorum ama kisa bir ispat
> bulamadim.  Sifira gittigini varsayarsak, f(x) ile carpiminin integralinin
> limitinin sifir olacagini gostermeye calisayim:
>
> g(x) herhangi bir basamak fonksiyonu olsun (
> http://en.wikipedia.org/wiki/Step_function ). O zaman integral g(x)
> (sin(nx))^n  =  \toplam c_i \integral_{a_i}^{b_i} (sin(nx))^n olur,
> terimlerin her biri sifira gittigi icin integral de sifira gider.
>
> Simdi L^1'de herhangi bir f(x) alalim, ve herhangi bir epsilon>0 alalim.
> Basamak fonksiyonlari L^1'de yogun oldugu icin oyle bir basamak fonksionu
> g(x) vardir ki \integral |f(x) - g(x)| < epsilon/2 olur. Ayrica yakinsamadan
> dolayi oyle bir N vardir ki, n>N icin |\integral g(x) (sin
> (nx))^n|<epsilon/2 olur. O zaman n>N icin
> |\integral f(x) (sin nx)^n | =
> |\integral (f(x) - g(x) + g(x) ) (sin nx)^n | <=
> |\integral (f(x) - g(x)) (sin nx)^n | + |\integral (g(x) (sin nx)^n |<=
> \integral |(f(x) - g(x)) | + |\integral (g(x) (sin nx)^n
> |<=epsilon/2+epsilon/2 = epsilon
> olur.
>
>
> 2010/12/13 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>
> a'dan b'ye (sin(nx))^n neden sifira gidiyor ben bulamadim. Ayrica sifira
>> gitse bile f(x) ile carpiminin integrali neden 0 oluyor?
>>
>> Bence bu limit n tekse baska, n ciftse baska sayi cikacak. (sin(nx))^n
>> yerine,
>>
>> (exp(inx)-exp(-inx))^n/(2i)^n
>>
>> yazip binom acilimiyla acinca bir yere kadar gelinebiliyor. Yani n'in tek
>> ya da cift olmasina gore ayri yerlere gelinebiliyor bence. Ama devamini
>> getiremedim.
>>
>> Kerem
>>
>>
>> 2010/12/13 Gorkem Ozkaya <gorkemozkaya at gmail.com>
>>
>> Basamak fonksiyonlari (step functions) L^1 icinde yogun oldugu icin, once
>>> a'dan b'ye integral sin(nx)^n in 0'a gittigi gosterilip sonra dogrusallik ve
>>> sinirlilik kullanilarak istenen limitin 0 oldugu gosterilebilir.
>>>
>>> 2010/12/12 zati lokum <zati.lokum at gmail.com>
>>>
>>>>  Herkese selam,
>>>>
>>>> f, L^1(R) da bir fonksiyon olsun yani Lebesgue integrallenebilir bir
>>>> fonksiyon olsun,integral[ f(x)(sinnx)^n]  reel sayılarının limiti nedir?
>>>>
>>>> zati
>>>>
>>>> _______________________________________________
>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>
>>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20101213/3f8e2883/attachment.htm>