[MD-sorular] löbek integral

[Gorkem Ozkaya]

{pi/2} tek elemanli bir kume oldugu icin olcusu sifir oluyor.  'Dominated
converge' teoremini uygulayabilmek icin olcusu sifir olan bir kumenin
disinda noktasal yakinsama yeterli.  O yuzden tek noktanin 0'a yakinsamamasi
sorun cikartmaz.

bkz.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem#Statement_of_the_theorembasligindaki
Remark 1.


2010/12/13 zati lokum <zati.lokum at gmail.com>

> x=pi/2 alırsak sorun çıkmıyor mu?
>
> zati
>
> 2010/12/13 Gorkem Ozkaya <gorkemozkaya at gmail.com>
>
>> Onceki mesaja ek:  a'dan b'ye integral (sin nx)^n 'in 0'a gittiginin
>> kaniti.  Genelligi kaybetmeden icerisinin mutlak degerini alalim.
>>  Degisken degistirerek
>>
>> \int_a^b |sin nx|^n dx = (1/n) \int_{na}^{nb} |sin y|^n dy.
>>
>> Oyle bir c secelim ki pi*c>=max{|a|,|b|} olsun.  O zaman
>>
>> (1/n) \int_{na}^{nb} |sin y|^n dy <= (1/n) \int_{-n pi c}^{n pi c} |sin
>> y|^n dy
>>
>> olur.  Icerdeki fonksiyon |sin y|^n,  periyodu pi olan periyodik fonksiyon
>> oldugu icin, bu son integralin degeri, tek bir periyodun uzerindeki
>> integralin 2cn kati olur:
>>
>> (1/n) \int_{-n pi c}^{n pi c} |sin y|^n dy = (2c) \int_0 ^{pi} |sin y|^n
>> dy.
>>
>> Integralin icerisi 0'a noktasal olarak yakinsar. Dominated convergence
>> theorem ile, limitin 0 oldugu sonucu cikar.
>>
>>
>>
>> 2010/12/13 Gorkem Ozkaya <gorkemozkaya at gmail.com>
>>
>>> a'dan b'ye (sin(nx))^n 'in 0'a gittigini dusunuyorum ama kisa bir ispat
>>> bulamadim.  Sifira gittigini varsayarsak, f(x) ile carpiminin integralinin
>>> limitinin sifir olacagini gostermeye calisayim:
>>>
>>> g(x) herhangi bir basamak fonksiyonu olsun (
>>> http://en.wikipedia.org/wiki/Step_function ). O zaman integral g(x)
>>> (sin(nx))^n  =  \toplam c_i \integral_{a_i}^{b_i} (sin(nx))^n olur,
>>> terimlerin her biri sifira gittigi icin integral de sifira gider.
>>>
>>> Simdi L^1'de herhangi bir f(x) alalim, ve herhangi bir epsilon>0 alalim.
>>> Basamak fonksiyonlari L^1'de yogun oldugu icin oyle bir basamak fonksionu
>>> g(x) vardir ki \integral |f(x) - g(x)| < epsilon/2 olur. Ayrica yakinsamadan
>>> dolayi oyle bir N vardir ki, n>N icin |\integral g(x) (sin
>>> (nx))^n|<epsilon/2 olur. O zaman n>N icin
>>> |\integral f(x) (sin nx)^n | =
>>> |\integral (f(x) - g(x) + g(x) ) (sin nx)^n | <=
>>> |\integral (f(x) - g(x)) (sin nx)^n | + |\integral (g(x) (sin nx)^n |<=
>>> \integral |(f(x) - g(x)) | + |\integral (g(x) (sin nx)^n
>>> |<=epsilon/2+epsilon/2 = epsilon
>>> olur.
>>>
>>>
>>> 2010/12/13 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>>>
>>> a'dan b'ye (sin(nx))^n neden sifira gidiyor ben bulamadim. Ayrica sifira
>>>> gitse bile f(x) ile carpiminin integrali neden 0 oluyor?
>>>>
>>>> Bence bu limit n tekse baska, n ciftse baska sayi cikacak. (sin(nx))^n
>>>> yerine,
>>>>
>>>> (exp(inx)-exp(-inx))^n/(2i)^n
>>>>
>>>> yazip binom acilimiyla acinca bir yere kadar gelinebiliyor. Yani n'in
>>>> tek ya da cift olmasina gore ayri yerlere gelinebiliyor bence. Ama devamini
>>>> getiremedim.
>>>>
>>>> Kerem
>>>>
>>>>
>>>> 2010/12/13 Gorkem Ozkaya <gorkemozkaya at gmail.com>
>>>>
>>>> Basamak fonksiyonlari (step functions) L^1 icinde yogun oldugu icin,
>>>>> once a'dan b'ye integral sin(nx)^n in 0'a gittigi gosterilip sonra
>>>>> dogrusallik ve sinirlilik kullanilarak istenen limitin 0 oldugu
>>>>> gosterilebilir.
>>>>>
>>>>> 2010/12/12 zati lokum <zati.lokum at gmail.com>
>>>>>
>>>>>>  Herkese selam,
>>>>>>
>>>>>> f, L^1(R) da bir fonksiyon olsun yani Lebesgue integrallenebilir bir
>>>>>> fonksiyon olsun,integral[ f(x)(sinnx)^n]  reel sayılarının limiti nedir?
>>>>>>
>>>>>> zati
>>>>>>
>>>>>> _______________________________________________
>>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>> _______________________________________________
>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>
>>>>
>>>>
>>>
>>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20101213/55ea6c06/attachment.htm>