[MD-sorular] Bir kardinalite sorusu

[E. Mehmet Kıral]

Herhalde G_m'lerin de kesisimini alacagiz.

Kesisim kumesi kesirlilerin siralanisina gore degisebilir. En azindan sunu
soyleyebilirim.

Oyle bir siralanis vardir ki, kesisim Q'dan baska hicbir eleman icermez.
Dolayisiyla sayilabilirdir.

Ayrica herhangi bir reel sayi aldigimizda onu kesisimde elde edecek sekilde
kesirlileri siralayabiliriz.

Ilki icin bir ornek verecegim. Ilk once soru tum kesirliler icin degil de Q
\cap [0,1] icin sorulsa temelde bir sey degismez. Birim araliktaki
kesirlileri de

0, 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 2/7, ...
biciminde siralayalim.

Herhangi bir alfa irrasyonel sayisi alalim. Alfaya cok yakin kesirli
sayilarin paydasi da cok buyuktur. Bu tumceyi nicelemek gerekirse, oyle bir
epsilon >0  vardir ki her p, q kesirli sayisi icin,
|alpha - p/q | > epsilon/q^2.
Bir sonuc olarak |alpha - p/q| < 1/q^3 esitsizligi sadece sonlu sayida p/q
icin saglanir, cikar.

Ancak p/q'nun etrafina cizdigimiz araliklar 2'nin kuvvetleriyle birlikte
kuculuyor. Dolayisiyla kesirleri paydalarinin buyuklugu q'lara gore
siraladigimizda hicbir irrasyonel sayiya yaklasamiyorlar. Daha dogrusu cok
gec yaklasiyorlar.

Dolayisiyla en azindan bir siralama icin, bahsettiginiz kesisim sayilabilir.

Sayilamaz sayida eleman iceren bir kesisim olursa, bunu somut olarak
bulabilecegimizi sanmiyorum. Sanmalarin, sanrilarin matematikte yeri yok
tabii ki.

2010/12/21 Ezgi Kantarcı <ezzzgi at gmail.com>

> Bu soruda m'in değişkenliğinin işlevini tam anlayamadım ben aslında. Eğer
> tüm G_m'ler için birleşim alıyorsak, G_1 hepsini kapsamaz mı zaten?
>
> 2010/12/22 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>
>
>> Pardon... I_{n, m}, a_n merkezli 1/2^{n+m} yaricapli aralik olsun...
>> A
>>
>>
>>
>> On 22.12.2010 00:45, E. Mehmet Kıral wrote:
>>
>>> Herhalde bir sey farkli olacak,
>>>
>>> Cunku sorunun bu ifadesiyle G_m'lerin her biri R'nin tamami.
>>>
>>> 2010/12/21 Ali Nesin<anesin at nesinvakfi.org>
>>>
>>>  Kesirli sayilari bir bicimde siralayalim.
>>>> Diyelim (a_n)_n biciminde.
>>>> I_{n, m}, a_n merkesli 1/2^m yaricapli aralik olsun.
>>>> G_m, tum n'ler icin I_{n, m}'lerin bilesimi olsun.
>>>> B de tum m'ler icin G_m'lerin bilesimi olsun.
>>>> B, tum kesirli sayilari icerir elbette.
>>>> Ama daha fazla sayi da icerebilir.
>>>> B'nin kardinalitesi hakkinda bir sey soyleyebilir miyiz?
>>>> A
>>>> _______________________________________________
>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>
>>>>
>>>
>>>  _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>


-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20101221/bdec7ee5/attachment.htm>