[MD-sorular] Bir kardinalite sorusu

[E. Mehmet Kıral]

Herkesten ozur dilerim, hatali bir cikarimda bulunmusum.

Hatam |alpha - p/q| > epsilon/q^2 esitsizligini her q icin saglayan bir
epsilon oldugu cumlesindeydi. Karistirmisim, dogru degil bu, sadece cebirsel
sayilar icin dogru olan bir sey bu. Oysa Sum 10^(-n!) gibi sayilar var,
oldukca yakininda kesirli sayilar var, paydasi nispeten kucuk olan.

Q hangi sekilde siralanmis olursa olsun, G_m'lerin kesisimi sayilamaz
sonsuzlukta eleman icerir.

Simdi Q'nun {a_n} siralanmasini alalim. q bir sayma sayisi olsun, d(q)
sayisi [0,1] araliginda paydasi sadelesmis halde q olan tum kesirlerin
indislerinden buyuk bir sayi olsun dahasi d(q) < d(q+1) de saglansin. (q=1
icin boyle bir ikinci kosul yok).

d(q) dizisinden bir de e(q) diye ayri bir dizi olusturalim, oyle ki e(1) =
d(1) ve ayrica e(q + 1) > 2d(2^{d(q)}) olacak sekilde secelim. Herhangi bir
m dogal sayisi icin, d artan bir dizi oldugundan e(q + 1) > d(2^{d(q)}) + m
saglanir.

c_q, 0 ile 1'lerden olusan herhangi bir dizi olsun.

Sum c_q 2^{-e(q)} \in [0,1] = alpha bir reel sayidir ve bu reel sayilardan
sayilamaz sonsuzlukta vardir. Cunku 0 ve 1'lerden olusan dizilerden
sayilamaz sonsuzlukta var.

Herhangi bir m sabitleyelim, alpha'nin G_m icerisinde oldugunu gosterecegiz.
Alpha'nin ikilik tabandaki ilk d(N)! hanesini alalim. Yani 1'den N'ye kadar
Sum c_q 2^{-e(q)}. Bu kesirli sayinin paydasi 2^{e(N)}'den kucuktur.
Dolayisiyla en gec d(2^{e(N)})'inci eleman olarak dizide yer alabilir, yani
kesirli sayi etrafinda cizilen araligin yaricapi 1/(2^{d(2^{e(N)})+m})'den
buyuktur.

Peki bu kesirli sayinin alpha'dan farki ne kadar kucuktur? 1/2^{e(N+1)}
kadar. Ancak e(q) dizisinin dehsetengiz buyume hizi, tam olarak da, bu sayi
1/(2^{d(2^{e(N)}+m}'den kucuk olsun diye secilmistir. En azindan yeterince
buyuk bir N icin.

Dolayisiyla alpha, G_m'nin bir elemani, her m icin bu dogru oldugundan,
alpha ayrica kesisimde.

Tum G_m'lerin kesisimi, olcusu 0 olan, ama sayilamaz sonsuzlukta eleman
iceren. Ayrica kesirli olmayan tum elemanlari askin olan ilginc bir kume.
Ustelik kesirli sayilarin siralanisi ne olursa olsun dogru bu.



2010/12/21 E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>

> Herhalde G_m'lerin de kesisimini alacagiz.
>
> Kesisim kumesi kesirlilerin siralanisina gore degisebilir. En azindan sunu
> soyleyebilirim.
>
> Oyle bir siralanis vardir ki, kesisim Q'dan baska hicbir eleman icermez.
> Dolayisiyla sayilabilirdir.
>
> Ayrica herhangi bir reel sayi aldigimizda onu kesisimde elde edecek sekilde
> kesirlileri siralayabiliriz.
>
> Ilki icin bir ornek verecegim. Ilk once soru tum kesirliler icin degil de Q
> \cap [0,1] icin sorulsa temelde bir sey degismez. Birim araliktaki
> kesirlileri de
>
> 0, 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 2/7, ...
> biciminde siralayalim.
>
> Herhangi bir alfa irrasyonel sayisi alalim. Alfaya cok yakin kesirli
> sayilarin paydasi da cok buyuktur. Bu tumceyi nicelemek gerekirse, oyle bir
> epsilon >0  vardir ki her p, q kesirli sayisi icin,
> |alpha - p/q | > epsilon/q^2.
> Bir sonuc olarak |alpha - p/q| < 1/q^3 esitsizligi sadece sonlu sayida p/q
> icin saglanir, cikar.
>
> Ancak p/q'nun etrafina cizdigimiz araliklar 2'nin kuvvetleriyle birlikte
> kuculuyor. Dolayisiyla kesirleri paydalarinin buyuklugu q'lara gore
> siraladigimizda hicbir irrasyonel sayiya yaklasamiyorlar. Daha dogrusu cok
> gec yaklasiyorlar.
>
> Dolayisiyla en azindan bir siralama icin, bahsettiginiz kesisim
> sayilabilir.
>
> Sayilamaz sayida eleman iceren bir kesisim olursa, bunu somut olarak
> bulabilecegimizi sanmiyorum. Sanmalarin, sanrilarin matematikte yeri yok
> tabii ki.
>
> 2010/12/21 Ezgi Kantarcı <ezzzgi at gmail.com>
>
> Bu soruda m'in değişkenliğinin işlevini tam anlayamadım ben aslında. Eğer
>> tüm G_m'ler için birleşim alıyorsak, G_1 hepsini kapsamaz mı zaten?
>>
>> 2010/12/22 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>>
>>
>>> Pardon... I_{n, m}, a_n merkezli 1/2^{n+m} yaricapli aralik olsun...
>>> A
>>>
>>>
>>>
>>> On 22.12.2010 00:45, E. Mehmet Kıral wrote:
>>>
>>>> Herhalde bir sey farkli olacak,
>>>>
>>>> Cunku sorunun bu ifadesiyle G_m'lerin her biri R'nin tamami.
>>>>
>>>> 2010/12/21 Ali Nesin<anesin at nesinvakfi.org>
>>>>
>>>>  Kesirli sayilari bir bicimde siralayalim.
>>>>> Diyelim (a_n)_n biciminde.
>>>>> I_{n, m}, a_n merkesli 1/2^m yaricapli aralik olsun.
>>>>> G_m, tum n'ler icin I_{n, m}'lerin bilesimi olsun.
>>>>> B de tum m'ler icin G_m'lerin bilesimi olsun.
>>>>> B, tum kesirli sayilari icerir elbette.
>>>>> Ama daha fazla sayi da icerebilir.
>>>>> B'nin kardinalitesi hakkinda bir sey soyleyebilir miyiz?
>>>>> A
>>>>> _______________________________________________
>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>
>>>>>
>>>>
>>>>  _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>
>>
>
>
> --
> Eren Mehmet Kıral
>



-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20101222/ffabd626/attachment.htm>