[MD-sorular] Bir kardinalite sorusu

Burak Kaya burakvonkaya at gmail.com
22 Ara 2010 Çar 09:45:08 EET


Bana sıralamaya bağlıymış gibi geldi hangi sayının içeride olduğu. alpha \in
(0,1) alalım ve alpha = Sum_1^infty alpha_n.2^-n sayının ikilik gösterimi
olsun. gamma_n = Sum_1^n alpha_i.2^-i şeklinde gamma_n sayıları
tanımlayalım. |gamma_n-alpha|<=2^-n olacaktır o zaman.

Şimdi bir a_n dizilimi için, her m için öyle bir n vardır ki alpha \in
B(a_n,2^-(m+n))=I_{m,n} olduğunu gösterirsek, o zaman her m için alpha \in
G_m olacak, dolayısıyla alpha \in B olacak. Ama dizilimimizi bunu
doğrulayacak şekilde seçebiliyoruz. Şöyle ki:

{gamma_(3n) : n>=1} dışında kalan rasyonel sayıları bir şekilde sıralayalım,
b_n diyelim bu sıralamaya. Daha sonra (a_n)=(gamma_3, b_1, gamma_6, b_2,
gamma_9, b_3...) şeklinde tüm rasyonelleri sıralayalım.

Şimdi verilen bir m>=1 için, n=2m-1 seçelim. O zaman a_n=gamma_(3m) olacak.
Ayrıca |gamma_k-alpha|<=2^-k olduğundan
dolayı, |alpha-a_n|=|alpha-gamma_(3m)|<=2^-(3m) olacak. Dolayısıyla alpha
\in B[gamma_(3m),2^-(3m)] \subset B(gamma_(3m), 2^-(3m-1)) = B(a_n,
2^-(n+m))=I_{m,n}. Buradan da alpha \in \cup I_{m,n}=G_m. Bu işlemi her m
için yapabiliyoruz, o zaman alpha \in \cap G_m = G.

Dolayısıyla istediğimiz her sayıyı içeriye katacak bir sıralama seçmek
mümkün. Ölçünün sıfır olması gerektiği görülebiliyor ama henüz çözümünüzü
tam anlayamadığımdan dolayı neden sayılamaz olması gerektiğini göremiyorum,
uğraşacağım! :)


22 Aralık 2010 00:20 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazdı:

> Tum G_m'lerin kesisimi, olcusu 0 olan, ama sayilamaz sonsuzlukta eleman
> iceren. Ayrica kesirli olmayan tum elemanlari askin olan ilginc bir kume.
> Ustelik kesirli sayilarin siralanisi ne olursa olsun dogru bu.
>
>
>
> 2010/12/21 E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>
>
> Herhalde G_m'lerin de kesisimini alacagiz.
>>
>> Kesisim kumesi kesirlilerin siralanisina gore degisebilir. En azindan sunu
>> soyleyebilirim.
>>
>> Oyle bir siralanis vardir ki, kesisim Q'dan baska hicbir eleman icermez.
>> Dolayisiyla sayilabilirdir.
>>
>> Ayrica herhangi bir reel sayi aldigimizda onu kesisimde elde edecek
>> sekilde kesirlileri siralayabiliriz.
>>
>> Ilki icin bir ornek verecegim. Ilk once soru tum kesirliler icin degil de
>> Q \cap [0,1] icin sorulsa temelde bir sey degismez. Birim araliktaki
>> kesirlileri de
>>
>> 0, 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 2/7, ...
>> biciminde siralayalim.
>>
>> Herhangi bir alfa irrasyonel sayisi alalim. Alfaya cok yakin kesirli
>> sayilarin paydasi da cok buyuktur. Bu tumceyi nicelemek gerekirse, oyle bir
>> epsilon >0  vardir ki her p, q kesirli sayisi icin,
>> |alpha - p/q | > epsilon/q^2.
>> Bir sonuc olarak |alpha - p/q| < 1/q^3 esitsizligi sadece sonlu sayida p/q
>> icin saglanir, cikar.
>>
>> Ancak p/q'nun etrafina cizdigimiz araliklar 2'nin kuvvetleriyle birlikte
>> kuculuyor. Dolayisiyla kesirleri paydalarinin buyuklugu q'lara gore
>> siraladigimizda hicbir irrasyonel sayiya yaklasamiyorlar. Daha dogrusu cok
>> gec yaklasiyorlar.
>>
>> Dolayisiyla en azindan bir siralama icin, bahsettiginiz kesisim
>> sayilabilir.
>>
>> Sayilamaz sayida eleman iceren bir kesisim olursa, bunu somut olarak
>> bulabilecegimizi sanmiyorum. Sanmalarin, sanrilarin matematikte yeri yok
>> tabii ki.
>>
>> 2010/12/21 Ezgi Kantarcı <ezzzgi at gmail.com>
>>
>> Bu soruda m'in değişkenliğinin işlevini tam anlayamadım ben aslında. Eğer
>>> tüm G_m'ler için birleşim alıyorsak, G_1 hepsini kapsamaz mı zaten?
>>>
>>> 2010/12/22 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>>>
>>>
>>>> Pardon... I_{n, m}, a_n merkezli 1/2^{n+m} yaricapli aralik olsun...
>>>> A
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> On 22.12.2010 00:45, E. Mehmet Kıral wrote:
>>>>
>>>>> Herhalde bir sey farkli olacak,
>>>>>
>>>>> Cunku sorunun bu ifadesiyle G_m'lerin her biri R'nin tamami.
>>>>>
>>>>> 2010/12/21 Ali Nesin<anesin at nesinvakfi.org>
>>>>>
>>>>>  Kesirli sayilari bir bicimde siralayalim.
>>>>>> Diyelim (a_n)_n biciminde.
>>>>>> I_{n, m}, a_n merkesli 1/2^m yaricapli aralik olsun.
>>>>>> G_m, tum n'ler icin I_{n, m}'lerin bilesimi olsun.
>>>>>> B de tum m'ler icin G_m'lerin bilesimi olsun.
>>>>>> B, tum kesirli sayilari icerir elbette.
>>>>>> Ama daha fazla sayi da icerebilir.
>>>>>> B'nin kardinalitesi hakkinda bir sey soyleyebilir miyiz?
>>>>>> A
>>>>>> _______________________________________________
>>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>
>>>>>  _______________________________________________
>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>
>>>
>>>
>>
>>
>> --
>> Eren Mehmet Kıral
>>
>
>
>
> --
> Eren Mehmet Kıral
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>



-- 
B.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20101222/621e8b2e/attachment.htm>


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi